Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=5，AB=DC=2．P為AD上一點，且滿足∠BPC=∠A．
（1）求證：△APB∽△DCP．
（2）求AP的長．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),梯形

專題：

分析：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠APB=∠PBC，∠DPC=∠PCB，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理可得∠A=∠D，∠APB=∠DCP，根據(jù)相似三角形的判定定理推出即可；
（2）根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得出∠A=∠D=∠BPC，根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠DPC=∠PCB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)推出兩三角形相似，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出答案．

解答：（1）證明：∵AD∥BC，
∴∠APB=∠PBC，∠DPC=∠PCB，
∵AB=DC，
∴∠A=∠D，
∵∠BPC=∠A，
∴∠APB=∠DCP，
∴△APB∽△DCP；

（2）解：∵ABCD是梯形，AD∥BC，AB=DC，
∴∠A=∠D，
∵∠BPC=∠A，
∴∠D=∠BPC，
∵AD∥BC，
∴∠DPC=∠PCB，
∴△ABP∽△DPC
∴

AP

CD

=

AB

DP

，
即

AP

2

=

2

5-AP

，
解得AP=1或AP=4．

點評：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：等腰梯形在同一底上的兩個角相等，相似三角形的對應(yīng)邊的比相等．