Question

【題目】已知，二次函數(shù)y＝ax2+2ax﹣3a（a＞0）圖象的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)C，B關(guān)于過點(diǎn)A的直線l對(duì)稱，直線l與y軸交于D．

（1）求A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)及直線l的解析式；

（2）求二次函數(shù)解析式；

（3）在第三象限拋物線上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，連接OE交直線l于點(diǎn)F，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：（﹣3，0）、（1，0），直線l的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣；（2）y＝；（3）．

【解析】

（1）對(duì)于y＝ax2＋2ax3a，令y＝0，則x＝3或1，求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用點(diǎn)C，B關(guān)于直線l對(duì)稱得AC＝AB＝4，求出a的值，進(jìn)而求解；

（2）由（1）得到a的值，故可求解；

（3）利用△HEF∽△DOF，得到＝＝﹣x2﹣x+，即可求解．

（1）對(duì)于y＝ax2+2ax﹣3a，令y＝0，則x＝﹣3或1，

則點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：（﹣3，0）、（1，0），

則函數(shù)的對(duì)稱軸為：x＝﹣1，則頂點(diǎn)C坐標(biāo)為：（﹣1，﹣4a），

∵點(diǎn)C，B關(guān)于直線l對(duì)稱，如下圖：

∴AC＝AB＝4，

即（﹣3+1）2+（0+4a）2＝42，

解得：a＝（負(fù)值已舍去），

故點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（﹣1，﹣2），

則BC＝＝4＝AB＝AC，

故△ABC為等邊三角形，

∵點(diǎn)C，B關(guān)于直線l對(duì)稱，

則BC∠⊥AD，故∠BAD＝30°，

∵tan30°=

則設(shè)直線l的表達(dá)式為：y＝﹣x+b，

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得0=﹣×3+b

并解得：b＝﹣，

故直線l的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣；

（2）由（1）知a＝，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2+x﹣；

（3）∵直線l的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣；

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（0，﹣），即OD＝，

過點(diǎn)E作y軸的平行線交AD于點(diǎn)H，

設(shè)點(diǎn)E（x，x2+x﹣），則點(diǎn)H（x，﹣x﹣），

則EH＝（﹣x﹣）﹣（x2+x﹣）＝﹣x2﹣x+，

∵HE∥y軸，

∴△HEF∽△DOF，

∴＝＝﹣x2﹣x+=-（x+）2+，

∵0，故有最大值，

當(dāng)x＝﹣時(shí)，最大值為．