Question

（本題10分）在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC．

（1）如圖①，過(guò)點(diǎn)A在△ABC外作直線MN，BM⊥MN于M，CN⊥MN于N．

①判斷線段MN、BM、CN之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明；

②若AM＝，BM＝，AB＝，試?yán)�用圖①驗(yàn)證勾股定理；

（2）如圖②，過(guò)點(diǎn)A在△ABC內(nèi)作直線MN，BM⊥MN于M，CN⊥MN于N，判斷線段MN、BM、CN之間有何數(shù)量關(guān)系？（直接寫出答案）

 

Answer 1

（1）①M(fèi)N=BM+CN，理由見(jiàn)試題解析；②證明見(jiàn)試題解析；（2）MN=BM﹣CN．

【解析】

試題分析：（1）①利用已知得出∠MAB=∠ACN，進(jìn)而得出△MAB≌△NCA，進(jìn)而得出BM=AN，AM=CN，即可得出線段MN、BM、CN之間的數(shù)量關(guān)系；

②利用S梯形MBCN=S△MAB+S△ABC+S△NCA，S梯形MBCN=（BM+CN）×MN=，進(jìn)而得出答案；

（2）利用已知得出∠MAB=∠ACN，進(jìn)而得出△MAB≌△NCA，進(jìn)而得出BM=AN，AM=CN，即可得出線段MN、BM、CN之間的數(shù)量關(guān)系．

試題解析：（1）①M(fèi)N=BM+CN；

理由：∵∠MAB+∠NAC=90°，∠ACN+∠NAC=90°，∴∠MAB=∠ACN，

在△MAB和△NCA中，∵∠BMA=∠ANC，∠MAB=∠NCA，AB=AC，∴△MAB≌△NCA（AAS），

∴BM=AN，AM=CN，∴MN=AM+AN=BM+CN；

②由①知△MAB≌△NCA，∴CN=AM=a，AN=BM=b，AC=BC=c，∴MN=a+b，

∵S梯形MBCN=S△MAB+S△ABC+S△NCA=，S梯形MBCN=（BM+CN）×MN=，

∴，∴；

（2）MN=BM﹣CN；

理由：∵∠MAB+∠NAC=90°，∠ACN+∠NAC=90°，∴∠MAB=∠ACN，

在△MAB和△NCA中，∵∠BMA=∠ANC，∠MAB=∠NCA，AB=AC，∴△MAB≌△NCA（AAS），

∴BM=AN，AM=CN，∴MN=AN﹣AM=BM﹣CN．

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)．