Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，長方形ABCD的頂點A(a,0)，B(b,0)在坐標軸上，C的縱坐標是2,且a,b滿足式子:

(1)求出點A、B、C的坐標．

(2)連接AC，在y軸上是否存在點M，使△COM的面積等于△ABC的面積，若存在請求出點M的坐標，若不存在請說明理由．

(3)若點P是邊CD上一動點，點Q是CD與y軸的交點，連接OP，OE平分∠AOP交直線CD于點E，OF⊥OE交直線CD于點F，當點P運動時，探究∠OPD和∠EOQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

Answer 1

【答案】(1) (2) M的坐標為(0,3)或(0,-3);

(3)∠OPD =2∠EOQ.

【解析】

(1)根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列出關(guān)于a、b的二元一次方程組，然后解方程組即可求出點A、B、C的坐標．

(2)求出△ABC的面積，根據(jù)△COM的面積與△ABC的面積相等，求得OM的長，即可求得M的坐標；

(3) 利用∠BOF，根據(jù)平行線的性質(zhì)，以及角平分線的定義表示出∠OPD和∠EOQ即可求解．

(1)∵，

∴

解得

故a、b的值分別是2、4；

點A、B、C的坐標分別為：

(2)∵A(2,0)，B(4,0)，

∴AB=6，

∵C(4,2)，

∴△ABC的面積

∵△COM的面積=△ABC的面積，

∴△COM的面積=6，即

∴

∴M的坐標為(0,3)或(0,-3)

(3) ∵ABCD是長方形，

∴AB∥CD，

∴∠OPD=∠POB.

∵OF⊥OE，

∴

∵OE平分∠AOP，

∴∠POE=∠AOE，

∴∠POF=∠BOF，

∴∠OPD=∠POB=2∠BOF.

∵∠EOQ+∠QOF=∠BOF+∠QOF=

∴∠EOQ=∠BOF，

∴∠OPD=2∠BOF=2∠EOQ.