【題目】問題:如圖1,在四邊形ABCD中,點(diǎn)P為AB上一點(diǎn),∠DPC=∠A=∠B=90°.

(1)求證:ADBC=APBP.
(2)探究:如圖2,在四邊形ABCD中,點(diǎn)P為AB上一點(diǎn),當(dāng)∠DPC=∠A=∠B=θ時,上述結(jié)論是否依然成立?說明理由.

(3)應(yīng)用:請利用(1)(2)獲得的經(jīng)驗(yàn)解決問題:
如圖3,在△ABD中,AB=12,AD=BD=10.點(diǎn)P以每秒1個單位長度的速度,由點(diǎn)A出發(fā),沿邊AB向點(diǎn)B運(yùn)動,且滿足∠DPC=∠A.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t(秒),當(dāng)以D為圓心,以DC為半徑的圓與AB相切,求t的值.

【答案】
(1)證明:如圖1,

∵∠DPC=∠A=∠B=90°,

∴∠ADP+∠APD=90°,

∠BPC+∠APD=90°,

∴∠APD=∠BPC,

∴△ADP∽△BPC,

,

∴ADBC=APBP


(2)結(jié)論ADBC=APBP仍成立;

理由:證明:如圖2,∵∠BPD=∠DPC+∠BPC,

又∵∠BPD=∠A+∠APD,

∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠APD,

∵∠DPC=∠A=θ,

∴∠BPC=∠APD,

又∵∠A=∠B=θ,

∴△ADP∽△BPC,

,

∴ADBC=APBP;


(3)解:如下圖,過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,

∵AD=BD=10,AB=12,

∴AE=BE=6

∴DE= =8,

∵以D為圓心,以DC為半徑的圓與AB相切,

∴DC=DE=8,

∴BC=10﹣8=2,

∵AD=BD,

∴∠A=∠B,

又∵∠DPC=∠A,

∴∠DPC=∠A=∠B,

由(1)(2)的經(jīng)驗(yàn)得ADBC=APBP,

又∵AP=t,BP=12﹣t,

∴t(12﹣t)=10×2,

∴t=2或t=10,

∴t的值為2秒或10秒


【解析】(1)要證ADBC=APBP,將等積式轉(zhuǎn)化為比列式,可知需證△ADP∽△BPC,根據(jù)已知易證證明∠APD=∠BPC,即可得出結(jié)論。
(2)此題需證△ADP∽△BPC,還差一個條件,根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠BPD=∠DPC+∠BPC,∠BPD=∠A+∠APD,結(jié)合已知得出∠BPC=∠APD,即可證得結(jié)論。
(3)抓住已知AD=BD,過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理求出DE的長,再以D為圓心,以DC為半徑的圓與AB相切,得出DC=DE=8,從而求出BC的長,再證明∠DPC=∠A=∠B,根據(jù)前兩題的證明過程可知ADBC=APBP,建立方程求出t的值。
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用因式分解法和三角形的外角的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握已知未知先分離,因式分解是其次.調(diào)整系數(shù)等互反,和差積套恒等式.完全平方等常數(shù),間接配方顯優(yōu)勢;三角形一邊與另一邊的延長線組成的角,叫三角形的外角;三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和;三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角.

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A.
B.
C.
D.7

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你能求 x 1x2019 x2018 x2017 x 1 的值嗎?

遇到這樣的問題,我們可以先思考一下,從簡單的情形手.先分別計算下列各式的值:

x 1 x 1 x2 1

x 1x2 x 1 x3 1 ;

x 1x3 x2 x 1 x4 1

由此我們可以得到:

x 1x2019 x2018 x2017 x 1 ; 請你利用上面的結(jié)論,完成下面兩題的計算:

132019 32018 32017 3 1 ;

2250 249 248 2

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證明: ∵∠1+2=180( 已知 )

1=4( )

∴∠2+4=180( )

EH AB( )

∴∠B=EHC( )

∵∠3=B( )

∴∠3=EHC( 等量代換 )

DE BC( )

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