Question

如圖，E是矩形ABCD的邊BC上一點(diǎn)，EF⊥AE，EF分別交AC，CD于點(diǎn)M，F(xiàn)，BG⊥AC，垂足為G，BG交AE于點(diǎn)H．
（1）求證：△ABE∽△ECF；
（2）找出與△ABH相似的三角形，并證明；
（3）若E是BC中點(diǎn)，BC=2AB，AB=3，求EM的長．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),矩形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）如圖，首先證明∠BAE=∠CEF，結(jié)合∠ABE=∠ECF=90°，即可解決問題．
（2）△ABH∽△ECM．首先證明∠ABH=∠ECM；運(yùn)用∠BAH=∠CEM，即可解決問題．
（3）如圖，作輔助線；證明△ABC∽△MRC，結(jié)合AB=BE=EC=3，證明∠AEB=45°，得到∠MER=45°，CR=2MR；求出MR=ER=1，即可解決問題．

解答：（1）證明：如圖，∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABE=∠ECF=90°；
∵AE⊥EF，∠AEB+∠FEC=90°，
∴∠AEB+∠BEA=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△ABE∽△ECF．
（2）△ABH∽△ECM．證明如下：
證明：∵BG⊥AC，∠ABC=90°，
∴∠ABG+∠BAG=90°，∠ECM+∠BAG=90°，
∴∠ABH=∠ECM；
由（1）知，∠BAH=∠CEM，
∴△ABH∽△ECM．
（3）解：作MR⊥BC，垂足為R，
則△ABC∽△MRC，而AB=BE=EC=3，
∴AB：BC=MR：RC=1：2，∠AEB=45°，
∴∠MER=45°，CR=2MR；
∵ER+RC=EC=3
∴MR=ER=1
∴EM=

12+12

=

2

．

點(diǎn)評：該題主要考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問題；應(yīng)牢固掌握矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)，這是靈活運(yùn)用解題的基礎(chǔ)和工具．