Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是矩形紙片，AB=2．對(duì)折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，折痕為EF；展平后再過點(diǎn)B折疊矩形紙片，使點(diǎn)A落在EF上的點(diǎn)N，折痕BM與EF相交于點(diǎn)Q；再次展平，連接BN，MN，延長(zhǎng)MN交BC于點(diǎn)G．有如下結(jié)論：
①∠ABN=60°；②AM=1；③QN= ；④△BMG是等邊三角形；⑤P為線段BM上一動(dòng)點(diǎn)，H是BN的中點(diǎn)，則PN+PH的最小值是 ．
其中正確結(jié)論的序號(hào)是 ．

Answer 1

【答案】①④⑤
【解析】解：如圖1，連接AN，

∵EF垂直平分AB，

∴AN=BN，

根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得

AB=BN，

∴AN=AB=BN．

∴△ABN為等邊三角形．

∴∠ABN=60°，∠PBN=60°÷2=30°，

即結(jié)論①正確；

∵∠ABN=60°，∠ABM=∠NBM，

∴∠ABM=∠NBM=60°÷2=30°，

∴AM= ，

即結(jié)論②不正確．

∵EF∥BC，QN是△MBG的中位線，

∴QN= BG；

∵BG=BM= ，

∴QN= ，

即結(jié)論③不正確．

∵∠ABM=∠MBN=30°，∠BNM=∠BAM=90°，

∴∠BMG=∠BNM﹣∠MBN=90°﹣30°=60°，

∴∠MBG=∠ABG﹣∠ABM=90°﹣30°=60°，

∴∠BGM=180°﹣60°﹣60°=60°，

∴∠MBG=∠BMG=∠BGM=60°，

∴△BMG為等邊三角形，

即結(jié)論④正確．

∵△BMG是等邊三角形，點(diǎn)N是MG的中點(diǎn)，

∴BN⊥MG，∴BN=BGsin60°= ，

根據(jù)條件易知E點(diǎn)和H點(diǎn)關(guān)于BM對(duì)稱，∴PH=PE，

∴P與Q重合時(shí)，PN+PH的值最小，此時(shí)PN+PH=PN+PE=EN，

∵EN= = ，

∴PN+PH= ，

∴PN+PH的最小值是 ，

即結(jié)論⑤正確．

所以答案是：①④⑤．

【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的軸對(duì)稱-最短路線問題，需要了解已知起點(diǎn)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑；與確定起點(diǎn)相反，已知終點(diǎn)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑；已知起點(diǎn)和終點(diǎn)，求兩結(jié)點(diǎn)之間的最短路徑；求圖中所有最短路徑才能得出正確答案．