Question

【題目】如圖，BD是△ABC的角平分線(xiàn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，AB上，且DE∥AB，BE=AF．

（1）求證：四邊形ADEF是平行四邊形；
（2）若∠ABC=60°，BD=4，求平行四邊形ADEF的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵BD是△ABC的角平分線(xiàn)，

∴∠ABD=∠DBE，

∵DE∥AB，

∴∠ABD=∠BDE，

∴∠DBE=∠BDE，

∴BE=DE；

∵BE=AF，

∴AF=DE；

∴四邊形ADEF是平行四邊形

（2）解：過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BD于點(diǎn)H，

∵∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分線(xiàn)，

∴∠ABD=∠EBD=30°，

∴DG= BD= ×4=2，

∵BE=DE，

∴BH=DH=2，

∴BE= = ，

∴DE= ，

∴四邊形ADEF的面積為：DEDG= ．

【解析】（1）根據(jù)BD是△ABC的角平分線(xiàn)，DE∥AB，證得△BDE是等腰三角形，且BE=DE；又由BE=AF，可得DE=AF，即可證得所求結(jié)論；
（2）先過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BD于點(diǎn)H，由∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分線(xiàn)，可求得DG的長(zhǎng)，繼而求得DE的長(zhǎng)，則可求得四邊形ADEF的面積．
【考點(diǎn)精析】掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道若一直線(xiàn)過(guò)平行四邊形兩對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，則這條直線(xiàn)被一組對(duì)邊截下的線(xiàn)段以對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)為中點(diǎn)，并且這兩條直線(xiàn)二等分此平行四邊形的面積．