Question

如圖1，AB∥CD，在AB、CD內(nèi)有一條折線EPF．
（1）求證：∠AEP+∠CFP=∠EPF．
（2）如圖2，已知∠BEP的平分線與∠DFP的平分線相交于點Q，∠EPF=α，∠EQF=β，請?zhí)骄喀僚cβ之間的關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

考點：平行線的性質(zhì)

專題：常規(guī)題型

分析：（1）過P點作PG∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)由PG∥AB得到∠EPG=∠AEP，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得PG∥CD，則∠FPG=∠CFP，所以∠AEP+∠CFP=∠EPF；
（2）先根據(jù)鄰補角的定義得∠BEP=180°-∠AEP，∠DFP=180°-∠CFP，由（1）的結(jié)論得∠AEP+∠CFP=α，則∠BEP+∠DFP=360°-α，同樣可得∠BEQ+∠DFQ=∠EQF=β，根據(jù)角平分線的定義得到∠BEP+∠DFP=2（∠BEQ+∠DFQ），所以360°-α=2β．

解答：（1）證明：過P點作PG∥AB，如圖，
∵PG∥AB，
∴∠EPG=∠AEP，
∵AB∥CD，
∴PG∥CD，
∴∠FPG=∠CFP，
∴∠AEP+∠CFP=∠EPF；
（2）解：α+2β=360°．理由如下：
∵∠BEP=180°-∠AEP，∠DFP=180°-∠CFP，
而∠AEP+∠CFP=α，
∴∠BEP+∠DFP=360°-α，
與（1）一樣可得∠BEQ+∠DFQ=∠EQF=β，
而∠BEP的平分線與∠DFP的平分線相交于點Q，
∴∠BEP+∠DFP=2（∠BEQ+∠DFQ），
∴360°-α=2β，
即α+2β=360°．

點評：本題考查了平行線的性質(zhì)：平行于同一條直線的兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．