Question

等邊三角形ABC的邊長為6，在AC，BC邊上各取一點E，F(xiàn)，連接AF，BE相交于點P；

（1）如AE=CF=2，

①試判斷AF與BE的數(shù)量關系，并說明你的理由；

②試求AP•AF的值；

（2）若AF=BE，當點E從A運動到點C時，請直接寫出點P經過的路徑長．

Answer 1

 

考點： 相似形綜合題． 

分析： （1）①證明△ABE≌△CAF，借用外角即可以得到答案；

②利用勾股定理求得AF的長度，再根據(jù)平行線分線段成比例定理或者三角形相似定理求得的比值，即可以得到答案．

（2）當點F靠近點C的時候點P的路徑是一段弧，由題目不難看出當E為AC的中點的時候，點P經過弧AB的中點，此時△ABP為等腰三角形，繼而求得半徑和對應的圓心角的度數(shù)，求得答案．點F靠近點B時，點P的路徑就是過點B向AC做的垂線段的長度，然后綜合上述兩種情況可得到圖3和圖4兩種情況．

解答： （1）①證明：∵△ABC為等邊三角形，

∴AB=AC，∠C=∠CAB=60°，

又∵AE=CF，

在△ABE和△CAF中，

，

∴△ABE≌△CAF（SAS）．

∴AF=BE．

②△ABE≌△CAF（SAS），

∴∠ABE=∠FAC．

∴∠APE=∠ABP+∠BAP=∠BAP+∠FAC=60°．

∴∠C=∠APE=60°，∠PAE=∠CAF，

∴△APE∽△ACF，

∴，即 ．

∴AP•AF=12．

（2）①如圖1所示：當AE=CF時，點P的路徑是一段�。�

由題目不難看出當E為AC的中點的時候，點P經過弧AB的中點，此時△ABP為等腰三角形，且∠ABP=∠BAP=30°，

∴∠AOB=120°，

又∵AB=6，

∴OA=2．

∴點P的路徑是l===．

②如圖2所示，當AE=BF時，過點C作CH⊥AB垂足為H．

點P的路徑就是過點C向AB作的垂線段HC的長度．

∵等邊三角形ABC的邊長為6，CH⊥AB．

∴BH=3．

∴點P的路徑CH===3．

③如圖3所示：

．

∵OA=0B，CA=CB，

∴OC垂直平分AB．

又∵∠AOB=120°，

∴∠AOG=60°．

∴OD=ADtan30°=3×=．OA=2OD=2．

∴DG=OG﹣OD=2=．

∴GC=3=2．

所以點P經過的軌跡=+GC=+2．

④如圖4所示：

由③可知：DG=，==．

所以點P經過的軌跡==+．

綜上所述，點P經過的軌跡的長度為或3或+2或．

點評： 本題考查了等邊三角形性質的綜合應用以及相似三角形的判定及性質的應用，解答本題的關鍵是注意轉化思想的運用．