【題目】已知邊長為1的正方形ABCD中, P是對角線AC上的一個動點(與點A、C不重合),過點P作PE⊥PB ,PE交射線DC于點E,過點E作EF⊥AC,垂足為點F.
(1)當點E落在線段CD上時(如圖),
①求證:PB=PE;
②在點P的運動過程中,PF的長度是否發(fā)生變化?若不變,試求出這個不變的值,若變化,試說明理由;
(2)當點E落在線段DC的延長線上時,在備用圖上畫出符合要求的大致圖形,并判斷上述(1)中的結(jié)論是否仍然成立(只需寫出結(jié)論,不需要證明);
(3)在點P的運動過程中,△PEC能否為等腰三角形?如果能,試求出AP的長,如果不能,試說明理由.
【答案】(1)①證明見解析;②點PP在運動過程中,PF的長度不變,值為;(2)畫圖見解析,成立 ;(3)能,1.
【解析】分析:(1)①過點P作PG⊥BC于G,過點P作PH⊥DC于H,如圖1.要證PB=PE,只需證到△PGB≌△PHE即可;②連接BD,如圖2.易證△BOP≌△PFE,則有BO=PF,只需求出BO的長即可.
(2)根據(jù)條件即可畫出符合要求的圖形,同理可得(1)中的結(jié)論仍然成立.
(3)可分點E在線段DC上和點E在線段DC的延長線上兩種情況討論,通過計算就可求出符合要求的AP的長.
詳解:(1)①證明:過點P作PG⊥BC于G,過點P作PH⊥DC于H,如圖1.
∵四邊形ABCD是正方形,PG⊥BC,PH⊥DC,
∴∠GPC=∠ACB=∠ACD=∠HPC=45°.
∴PG=PH,∠GPH=∠PGB=∠PHE=90°.
∵PE⊥PB即∠BPE=90°,
∴∠BPG=90°﹣∠GPE=∠EPH.
在△PGB和△PHE中,
,
∴△PGB≌△PHE(ASA),
∴PB=PE.
②連接BD,如圖2.
∵四邊形ABCD是正方形,∴∠BOP=90°.
∵PE⊥PB即∠BPE=90°,
∴∠PBO=90°﹣∠BPO=∠EPF.
∵EF⊥PC即∠PFE=90°,
∴∠BOP=∠PFE.
在△BOP和△PFE中,
∴△BOP≌△PFE(AAS),
∴BO=PF.
∵四邊形ABCD是正方形,
∴OB=OC,∠BOC=90°,
∴BC=OB.
∵BC=1,∴OB=,
∴PF=.
∴點PP在運動過程中,PF的長度不變,值為.
(2)當點E落在線段DC的延長線上時,符合要求的圖形如圖3所示.
同理可得:PB=PE,PF=.
(3)①若點E在線段DC上,如圖1.
∵∠BPE=∠BCE=90°,∴∠PBC+∠PEC=180°.
∵∠PBC<90°,∴∠PEC>90°.
若△PEC為等腰三角形,則EP=EC.
∴∠EPC=∠ECP=45°,
∴∠PEC=90°,與∠PEC>90°矛盾,
∴當點E在線段DC上時,△PEC不可能是等腰三角形.
②若點E在線段DC的延長線上,如圖4.
若△PEC是等腰三角形,
∵∠PCE=135°,
∴CP=CE,
∴∠CPE=∠CEP=22.5°.
∴∠APB=180°﹣90°﹣22.5°=67.5°.
∵∠PRC=90°+∠PBR=90°+∠CER,
∴∠PBR=∠CER=22.5°,
∴∠ABP=67.5°,
∴∠ABP=∠APB.
∴AP=AB=1.
∴AP的長為1.
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【題目】下列說法正確的是
A. “明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的時間都在降雨
B. “拋一枚硬幣正面朝上的概率為”表示每拋2次就有一次正面朝上
C. “彩票中獎的概率為1%”表示買100張彩票肯定會中獎
D. “拋一枚正方體骰子,朝上的點數(shù)為2的概率為”表示隨著拋擲次數(shù)的增加,“拋出朝上的點數(shù)為2”這一事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定在附近
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【題目】是線段上任一點,,兩點分別從同時向點運動,且點的運動速度為,點的運動速度為,運動的時間為.
(1)若,
①運動后,求的長;
②當在線段上運動時,試說明;
(2)如果時,,試探索的值.
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【題目】已知:如圖,在□ABCD中,E、F分別為BC、AD的中點.
(1)試判斷四邊形AECF是什么四邊形?為什么?
(2)當AB⊥AC時,四邊形AECF是什么四邊形?
(3)結(jié)合圖形,請你添加一個條件,使其與原已知條件共同能推出四邊形AECF是矩形.
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【題目】如圖所示,在菱形ABCD中,AC是對角線,CD=CE,連接DE.
(1)若AC=16,CD=10,求DE的長.
(2)G是BC上一點,若GC=GF=CH且CH⊥GF,垂足為P,求證:DH=CF.
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【題目】在矩形ABCD中 ,AB=8 , BC=6, 點P在邊AB上。若將△DAP沿DP折疊 ,使點A落在矩形對角線上的點A,處,則AP的長為__________。
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【題目】數(shù)學(xué)活動課上,勵志學(xué)習小組對有一內(nèi)角為120°的平行四邊形ABCD(∠BAD=120°)進行探究:將一塊含60°的直角三角板如圖放置在平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn),且60°角的頂點始終與點C重合,較短的直角邊和斜邊所在的兩直線分別交線段AB,AD于點E,F(xiàn)(不包括線段的端點).
(1)初步嘗試
如圖1,若AD=AB,求證:①△BCE≌△ACF,②AE+AF=AC;
(2)類比發(fā)現(xiàn)
如圖2,若AD=2AB,過點C作CH⊥AD于點H,求證:AE=2FH;
在證明這道題時,勵志學(xué)習小組成員小穎同學(xué)進行如下書寫,請你將此證明過程補充完整
證明:設(shè)DH=x,由由題意,CD=2x,CH=x,
∴AD=2AB=4x,
∴AH=AD﹣DH=3x,
∵CH⊥AD,
∴AC==2x,
(3)深入探究
在(2)的條件下,勵志學(xué)習小組成員小漫同學(xué)探究發(fā)現(xiàn),試判斷小漫同學(xué)的結(jié)論是否正確,并說明理由
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【題目】,,為的角平分線.
(1)如圖1,若,則______;若,則______;猜想:與的數(shù)量關(guān)系為______
(2)當繞點按逆時針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置時,(1)的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立?請說明理由.
(3)如圖3,在(2)的條件下,在中作射線,使,且,直接寫出______.
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【題目】如圖,ABCD中,AE平分∠BAD,交BC于E,DE⊥AE,下列結(jié)論::①DE平分∠ADC;②E是BC的中點;③AD=2CD;④梯形ADCE的面積與△ABE的面積比是3:1,其中正確的結(jié)論的個數(shù)有( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
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