Question

如圖，⊙O的弦AB=8，直徑CD⊥AB于M，OM ：MD ="3" ：2， E是劣弧CB上一點，連結(jié)CE并延長交CE的延長線于點F．

求：（1）⊙O的半徑；
（2）求CE·CF的值．

Answer 1

（1）5；（2）80.

試題分析：（1）連接AO，由OM : MD=3:2，可設(shè)OM="3" k，MD="2" k (k >0)，則OA="OD=5" k，在Rt△OAM中，由勾股定理可得：k=1，從而求得⊙O的半徑；（2）連接AE，通過證明DACE∽DFCA即可得AC²=CE×CF，在Rt△ACM中，由勾股定理可得：AC²=AM²+CM²=16+64=80，從而求得CE×CF=80.
試題解析：（1）如圖，連接AO，
∵OM : MD=3:2，∴可設(shè)OM="3" k，MD="2" k (k >0)，則OA="OD=5" k.
又∵弦AB=8，直徑CD⊥AB于M，∴AM=4.
在Rt△OAM中，由勾股定理可得：k="1" ．
∴圓O的半徑為5 ．

（2）如圖，連接AE，
由垂徑定理可知：ÐAEC=ÐCAF，
又∵ÐACF=ÐACF，∴DACE∽DFCA. ∴，即AC²=CE×CF.
在Rt△ACM中，由勾股定理可得：AC²=AM²+CM²="16+64=80" ，
∴CE×CF=80.