Question

如圖，已知AB∥CD，AB=CD，AD∥BC，AD=BC，DE是∠ADC的角平分線，交BC于點E．
（1）求證：CD=CE；
（2）若AE⊥DE，DC=5，DE=8，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

考點：勾股定理

專題：幾何圖形問題,證明題

分析：（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠1=∠2，根據(jù)平行四邊形的對邊平行可得AD∥BC，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠1=∠3，從而求出∠2=∠3，然后利用等角對等邊證明即可；
（2）作EF∥CD，則F是AD的中點，易證四邊形EFDC是菱形，根據(jù)勾股定理求得CF的長，然后利用菱形的面積公式即可求得菱形EFDC的面積，四邊形ABCD的面積是菱形EFDC的面積的2倍，據(jù)此即可求解．

解答：（1）證明：∵DE是∠ADC的角平分線，
∴∠1=∠2，
在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴CD=CE；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∴

1

2

∠BAD+

1

2

∠ADC=90°，
又∵∠1=

1

2

∠ADC，在直角△ADE中，∠EAD+∠1=90°，
∴∠EAD=

1

2

∠BAD，
即AE是∠BAD的平分線．
同（1）可得BE=AB=CD=5，
作EF∥CD，則F是AD的中點，
又∵AD∥BC，EC=CD，
∴四邊形EFDC是菱形．
∴DE⊥CF，DG=

1

2

DE=4，
在直角△CDG中，CG=

CD2-DG2

=

52-42

=3．
∴CF=2CG=6，
∴菱形EFDC的面積是：

1

2

DE•CF=

1

2

×8×6=24，
∴四邊形ABCD的面積是2×24=48．

點評：本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，以及等腰三角形的判定方法，正確理解四邊形EFDC是菱形，邊形ABCD的面積是菱形EFDC的面積的2倍是關(guān)鍵．