Question

如圖，已知在四邊形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，AE＝CF，BF＝DE．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．

Answer 1

證明：證法一：∵BF＝DE，

∴BF－EF＝DE－EF，即BE＝DF．

又∵AE⊥BD，CF⊥BD．

∴∠AEB＝∠CFD＝90°．

∵在△ABE和△CDF中，BE＝DF，∠AEB＝∠CFD，AE＝CF，∴△ABE≌△CDF(SAS)，∴AB＝CD．

∵在△ADE和△CBF中，AE＝CF，∠AED＝∠BFC＝90°，DE＝BF，∴△ADE≌△CBF(SAS)，∴AD＝BC．

∴四邊形ABCD是平行四邊形(兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形)．

證法二：同證法一，得△ABE≌△CDF，

∴∠ABE＝∠CDF，

∴AB∥CD．同理可證：AD∥BC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形(兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形)．

證法三：同證法一，得△ABE≌△CDF，

∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，∴AB∥CD．

∴四邊形ABCD是平行四邊形(一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)．

證法四：連接AC，交BD于點(diǎn)O．

∵∠AEO＝∠CFO＝90°，∠AOE＝∠COF，AE＝CF．

∴△AOE≌△COF(AAS)，∴AO＝CO，EO＝FO．

∵BF＝DE，∴BE＝DF，∴BE＋EO＝DF＋FO，即BO＝DO．

∴四邊形ABCD是平行四邊形(兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形)．

【解析】主要考察平行四邊形的判定