Question

如圖，AC、BD為⊙O的兩條弦，且AC⊥BD，⊙O的半徑為

1

2

，則AB²+CD²的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,勾股定理

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：作直徑AE，連結(jié)CE、BE，根據(jù)圓周角定理由AE為直徑得到∠ACE=90°，∠ABE=90°，而AC⊥BD，所以BD∥CE，所以BE弧=DC弧，則得到BE=CD，
在Rt△ABE中，利用勾股定理得AB²+BE²=AE²=1，于是有AB²+CD²=1．

解答：解：作直徑AE，連結(jié)CE、BE，如圖，
∵AE為直徑，
∴∠ACE=90°，即CE⊥AC，∠ABE=90°，
∵AC⊥BD，
∴BD∥CE，
∴BE弧=DC弧，
∴BE=CD，
在Rt△ABE中，AB²+BE²=AE²=1²=1，
∴AB²+CD²=1．
故答案為1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．也考查了勾股定理．