Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的對稱軸是且經(jīng)過、兩點(diǎn)，與軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)，連結(jié)．

（1）填空：點(diǎn)、點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)分別為________，________，________；

（2）求證：；

（3）求拋物線解析式；

（4）若點(diǎn)為直線上方的拋物線上的一點(diǎn)，連結(jié)，，求面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）時(shí)，的面積有最大值是；；

【解析】

（1）先求的直線y=x+2與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用拋物線的對稱性可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）由點(diǎn)的坐標(biāo)得出OA=4，OB=1，OC=2，證出 ，再由∠AOC=∠COB=90°，即可得出△AOC∽△COB；
（3）設(shè)拋物線的解析式為y=y=a（x+4）（x-1），然后將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入即可求得a的值；
（4）設(shè)點(diǎn)P、Q的橫坐標(biāo)為m，分別求得點(diǎn)P、Q的縱坐標(biāo)，從而可得到線段PQ=-m2-2m，然后利用三角形的面積公式可求得S△PAC=×PQ×4，然后利用配方法可求得△PAC的面積的最大值以及此時(shí)m的值，從而可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（1）y=x+2，
當(dāng)x=0時(shí)，y=2，當(dāng)y=0時(shí)，x=-4，
∴C（0，2），A（-4，0），
∵拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是x=-，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為1，0）；
故答案是：（-4，0），（1，0），（0，2）．

（2）∵，，，

∴，，，

∴，，

∴，

又∵，

∴；

（3）∵拋物線過，，

∴可設(shè)拋物線解析式為，

又∵拋物線過點(diǎn)，

∴

∴，

∴．

（4）設(shè)．

過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，

∴，

∴

，

∵，

，

∴當(dāng)時(shí)，的面積有最大值是，

此時(shí)．