Question

如圖，在直角坐標平面內(nèi)，直線y=x-1與x軸交于點A，過點C（0，3）的直線l∥x軸，與直線y=x-1交于點D，點P從原點O出發(fā)沿x軸負半軸移動，連接PD，設(shè)點P移動的距離為m．
（1）求點A和點D的坐標；
（2）求△PAD的面積S關(guān)于m的函數(shù)解析式；
（3）在x軸正半軸上取一點B，使AB=PA，連接BD，若△PBD為直角三角形，求m的值；
（4）作點O關(guān)于直線PD的對稱點O′，當點O′落在直線l上時，請寫出P點坐標．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由條件可直接求得A點的坐標，由平行得出D點與C點縱坐標相同，再代入直線l的解析式可求得D點坐標；
（2）用m表示出PA，而△PAD中把PA當?shù)祝瑒t高為OC，可表示出其面積；
（3）分點D和點B為直角頂點進行討論，借助直角三角形的性質(zhì)，求出PA的長，進一步可求得m的值；
（4）由條件可得出PD是線段OO′的垂直平分線，由線段垂直平分線的性質(zhì)可求出O′點的坐標，再過點O′作O′F垂直x軸，在直角三角形中由勾股定理得到關(guān)于m的方程，求出m，則可得出P的坐標．

解答：解：（1）直線y=x-1，令y=0，解得x=1，
故A點坐標為（1，0），
因為l∥x軸，且C（0，3），所以D點縱坐標為3，
把y=3代入y=x-1可得x=4，
故D點坐標為（4，3）；

（2）由題意可知PA=PO+AO=m+1，
所以S=

1

2

PA•OC=

1

2

（m+1）×3=

3

2

m+

3

2

，其中m＞0，
即S關(guān)于m的函數(shù)解析式為：S=

3

2

m+

3

2

（m＞0）；

（3）由條件知∠BPD為銳角，故只有點D或點B為直角頂點．
如圖1，過D作DE⊥x軸，交x軸于點E，則DE=OC=3，OE=CD=4，
所以AE=OE-OA=4-1=3，

在Rt△ADE中，由勾股定理可求得AD=3

2

，
當PD⊥BD時，如圖2．

因為PA=AB，所以A為PB的中點，
所以PA=AB=AD=3

2

，
即m+1=3

2

，求得m=3

2

-1；
當PB⊥BD時，如圖3．

此時OB=CD=4，所以AB=OB-OA=4-1=3，
因為PA=AB，所以m+1=3，解得m=2，
綜上知滿足條件的m的值為3

2

-1或2；

（4）如圖4，連接OD，O′P，由題意可知PD為線段OO′的垂直平分線，

所以O(shè)′D=OD=5，PO′=PO=m，
又CD=4，所以O(shè)′C=O′D-CD=5-4=1．
過O′作O′F⊥x軸交x軸于點F，
則O′F=OC=3，OF=O′C=1，所以PF=PO-FO=m-1，
在Rt△PFO′中，由勾股定理可得：（m-1）²+3²=m²，
解得m=5，所以P點的坐標為（-5，0）．

點評：本題主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識的綜合運用，在（2）中表示出PA的長，在（3）中能正確分類討論，在（4）中得出PD是線段OO′的垂直平分線是解題的關(guān)鍵．