Question

如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=CD，∠C=60°，DH⊥BC于點(diǎn)H，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，連接AE，將△ABE沿AE翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，射線EF交CD所在直線于點(diǎn)M
（1）若點(diǎn)M在CD邊上時(shí)，求證：FM-DM=CH；
（2）如圖2，若點(diǎn)M在CD邊得延長線上時(shí)，F(xiàn)M、DM、CH三條線段有怎樣得數(shù)量關(guān)系？說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：（1）利用過點(diǎn)A作AG⊥CD，交CD的延長線于點(diǎn)G，連接AM，進(jìn)而利用HL定理得出Rt△AMG≌Rt△AMF，求出MG=MF，即可得出答案；
（2）過點(diǎn)A作AG⊥CD，交CD的延長線于點(diǎn)G，連接AM，AC，進(jìn)而利用HL定理得出Rt△AMG≌Rt△AMF，求出MG=MF，即可得出答案．

解答：（1）證明：過點(diǎn)A作AG⊥CD，交CD的延長線于點(diǎn)G，連接AM，
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
∵AD=CD，
∴∠ACD=∠DAC
∴∠ACB=∠ACD，
∴AG=AB
∵AB=AF，
∴AG=AF
又∵AM=AM，
在Rt△AMG和Rt△AMF中，

AF=AG AM=AM

∴Rt△AMG≌Rt△AMF（HL），
∴FM=GM，
∴FM一DM=GD，
在Rt△AGD和Rt△DHC中，AD=DC，AG=DH，由勾股定理得：DG=CH，
∴FM-DM=CH；

（2）FM+DM=CH，
理由是：過點(diǎn)A作AG⊥CD，交CD的延長線于點(diǎn)G，連接AM，AC，
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
∵AD=CD，
∴∠ACD=∠DAC
∴∠ACB=∠ACD，
∴AG=AB
∵AB=AF，
∴AG=AF，
又∵AM=AM，
在Rt△AMG和Rt△AMF中，

AF=AG AM=AM

∴Rt△AMG≌Rt△AMF（HL），
∴FM=GM，
∴FM+DM=GD，
在Rt△AGD和Rt△DHC中，AD=DC，AG=DH，由勾股定理得：DG=CH，
∴FM+DM=CH．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及全等三角形的判定等知識(shí)，根據(jù)已知得出全等三角形進(jìn)而得出對應(yīng)角對應(yīng)邊的關(guān)系是解題關(guān)鍵．