Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交AB于點M，交BC于點N，連接AN，過點C的切線交AB的延長線于點P．

（1）求證：∠BCP=∠BAN
（2）求證： ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AC為⊙O直徑，

∴∠ANC=90°，

∴∠NAC+∠ACN=90°，

∵AB=AC，

∴∠BAN=∠CAN，

∵PC是⊙O的切線，

∴∠ACP=90°，

∴∠ACN+∠PCB=90°，

∴∠BCP=∠CAN，

∴∠BCP=∠BAN；

（2）證明：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵∠PBC+∠ABC=∠AMN+∠ACN=180°，

∴∠PBC=∠AMN，

由（1）知∠BCP=∠BAN，

∴△BPC∽△MNA，

∴ ．

【解析】（1）根據等邊對等角得到∠BAN=∠CAN，由PC是⊙O的切線，根據切線的性質得到∠BCP=∠BAN；（2）根據兩角對應相等兩三角形相似，得到△BPC∽△MNA，得到比例.