Question

如圖所示，AB為⊙O的直徑，弦DA，BC的延長線相交于點(diǎn)P，且BC=PC．求證：
（1）AB=AP；
（2）

BC

=

CD

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,圓心角、弧、弦的關(guān)系

專題：證明題

分析：（1）連接AC，根據(jù)AB為圓心O的直徑可知∠ACB=90°，即AC⊥BP．再根據(jù)BC=PC可知AC為BP的垂直平分線，故可得出結(jié)論；
（2）連接CD，根據(jù)圓周角定理得出∠ADC=∠ABC=∠ABP=∠APB=∠APC，故可得出△CPD為等腰三角形，所以CD=PC=BC，由此可得出結(jié)論．

解答：（1）證明：連接AC，
∵AB為圓心O的直徑，
∴∠ACB=90°，即AC⊥BP．
∵BC=PC，
∴AC為BP的垂直平分線，
∴AB=AP；

（2）證明：連接CD，
∵由（1）知AB=AP，
∴∠APB=∠ABP．
∵∠ADC，∠ABC均為

AC

所對(duì)的圓周角，
∴∠ADC=∠ABC=∠ABP=∠APB=∠APC，
∴△CPD為等腰三角形，
∴CD=PC=BC
∴

BC

=

CD

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圓周角定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出圓周角是解答此題的關(guān)鍵．