Question

如圖，拋物線y=-

1

2

（x-1）²+

9

2

與x軸交于A，B兩點，點C（1，m）在拋物線上，P在y軸上，且△BCP為等腰三角形，求P坐標．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：

分析：將C坐標代入拋物線解析式求出m的值，確定出點C坐標；然后分類討論：BC為底和BC為腰兩種情況下的點P的坐標．

解答：解：解：令y=0，則-

1

2

（x-1）²+

9

2

=0，
解得，x=4或x=-2．
如圖所示，A（-2，0），B（4，0）．
把C（1，m）代入拋物線解析式，得到：m=-

1

2

（1-1）²+

9

2

=

9

2

，則C（1，

9

2

）．
∴BC=

(4-1)2+( 9 2 )2

=

117

2

，
∵P在y軸的正半軸上，
∴設P（0，y），
①當BC=PC時，

(-1)2+(y- 9 2 )2

=

117

2

，
解得，y₁=

9+ 113

2

，y₂=

9- 113

2

，
P點坐標為（0，

9+ 113

2

）或（0，

9- 113

2

）．
②當BC=PB時，

(0-4)2+y2

=

117

2

，
解得，y=

53

2

或y=-

53

2

．
則P（0，

53

2

）或（0，-

53

2

）；
③當PC=PB時，

(-1)2+(y- 9 2 )2

=

(0-4)2+y2

，
解得，y=

7

12

．則P（0，

7

12

）．
綜上所述，符合題意的點P的坐標是：（0，

9+ 113

2

）或（0，

9- 113

2

）或（0，

53

2

）或（0，-

53

2

）或（0，

7

12

）．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點．解題時，要根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，進行分類討論，以防漏解，同時要靈活運用兩點間的距離公式．