Question

．已知AB是⊙O的直徑，AP是⊙O的切線，A是切點(diǎn)，BP與⊙O交于點(diǎn)C．

（1）如圖①，若AB=2，∠P=30°，求AP的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）；

（2）如圖②，若D為AP的中點(diǎn)，求證：直線CD是⊙O的切線．

　

Answer 1

【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)；勾股定理．

【專題】計(jì)算題；證明題．

【分析】（1）易證PA⊥AB，再通過解直角三角形求解；

（2）本題連接OC，證出OC⊥CD即可．首先連接AC，得出直角三角形ACP，根據(jù)直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半得CD=AD，再利用等腰三角形性質(zhì)可證∠OCD=∠OAD=90°，從而解決問題．

【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直徑，AP是切線，

∴∠BAP=90°．

在Rt△PAB中，AB=2，∠P=30°，

∴BP=2AB=2×2=4．

由勾股定理，得．  

（2）如圖，連接OC、AC．

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠BCA=90°，又∵∠ACP=180°﹣∠BCA=90°．

在Rt△APC中，D為AP的中點(diǎn)，

∴．

∴∠4=∠3．

又∵OC=OA，

∴∠1=∠2．

∵∠2+∠4=∠PAB=90°，

∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°．

即OC⊥CD．

∴直線CD是⊙O的切線．

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的判定和性質(zhì)及解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，難度適中．