Question

如圖，已知⊙O上A、B、C三點，∠BAC=30°，D是OB延長線上的點，∠BDC=30°，⊙O半徑為．

（1）求證：DC是⊙O的切線；

（2）如果AC∥BD，證明四邊形ACDB是平行四邊形，并求其周長．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）證明見解析；2+2．

【解析】

試題分析：（1）連接OC，由于∠A=30°，利用圓周角定理可知∠BOC=60°，而∠BDC=30°，利用三角形內(nèi)角和定理可求∠DCO=90°，從而可證CD是⊙的切線；

（2）由于AC∥BD，那么∠ABO=∠BAC=30°，而∠BDC=30°，等量代換可得∠ABO=∠BDC，根據(jù)平行線的判定可知AB∥CD，于是可證四邊形ABDC是平行四邊形，在Rt△OCD中，由于∠BDC=30°，OC=，可知OD=2OC=2，易求BD=，再利用特殊三角函數(shù)值可求CD=，進而可求平行四邊形ABCD的周長．

試題解析：（1）證明：連接OC，如圖

∵∠A=30°，

∴∠BOC=60°

又∵∠BDC=30°，

∴∠DCO=90°，

∴CD是⊙O的切線；

（2）證明：∵AC∥BD，

∴∠ABO=∠BAC=30°，

又∵∠BDC=30°，

∴∠ABO=∠BDC，

∴AB∥CD，

∴四邊形ABDC是平行四邊形，

在Rt△CDO中，

∵∠BDC=30°，OC=，

∴OD=2OC=2，CD=OC=，

∴DB=OD-OB=，

∴平行四邊形ABDC的周長=2（DB+DC）=2（+）=2+2．

考點：1．切線的判定與性質(zhì)；2．平行四邊形的判定與性質(zhì)．