Question

如圖，在正方形ABCD中，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形AEF的頂點(diǎn)E、F分別在BC和CD上，下列結(jié)論：

①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+

其中正確的序號(hào)是______________

 

 

Answer 1

①②④．

【解析】

試題分析：根據(jù)三角形的全等的知識(shí)可以判斷①的正誤；根據(jù)角角之間的數(shù)量關(guān)系，以及三角形內(nèi)角和為180°判斷②的正誤；根據(jù)線段垂直平分線的知識(shí)可以判斷③的正誤，利用解三角形求正方形的面積等知識(shí)可以判斷④的正誤．

試題解析：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，

∵△AEF是等邊三角形，

∴AE=AF，

在Rt△ABE和Rt△ADF中，

∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），

∴BE=DF，

∵BC=DC，

∴BC-BE=CD-DF，

∴CE=CF，

∴①說法正確；

∵CE=CF，

∴△ECF是等腰直角三角形，

∴∠CEF=45°，

∵∠AEF=60°，

∴∠AEB=75°，

∴②說法正確；

如圖，連接AC，交EF于G點(diǎn)，

∴AC⊥EF，且AC平分EF，

∵∠CAF≠∠DAF，

∴DF≠FG，

∴BE+DF≠EF，

∴③說法錯(cuò)誤；

∵EF=2，

∴CE=CF=，

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，

在Rt△ADF中，

AD2+DF2=AF2，即a2+（a-）2=4，

解得a=，

則a2=2+，

S正方形ABCD=2+，

④說法正確，

故答案為①②④．

考點(diǎn):1.正方形的性質(zhì)；2.全等三角形的判定與性質(zhì)；3.等邊三角形的性質(zhì)．