Question

已知x₁、x₂是關(guān)于x的一元二次方程kx²+4x-3=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求k的取值范圍；
（2）是否存在這樣的實(shí)數(shù)k，使2x₁+2x₂+3x₁x₂=2成立？若存在，求k的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：（1）根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到k≠0且△=4²-4×k×（-3）＞0，然后求出兩不等式的公共部分即可；
（2）先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=-

4

k

，x₁x₂=-

3

k

，由于2x₁+2x₂+3x₁x₂=2，則2×（-

4

k

）+3×（-

3

k

）=2，解得k=-

17

2

，然后根據(jù)k的值是否滿(mǎn)足（1）的范圍確定在不存在．

解答：解：（1）根據(jù)題意得k≠0且△=4²-4×k×（-3）＞0，
解得k＞-

4

3

且k≠0；
（2）不存在．
根據(jù)題意得x₁+x₂=-

4

k

，x₁x₂=-

3

k

，
∵2x₁+2x₂+3x₁x₂=2，
∴2×（-

4

k

）+3×（-

3

k

）=2，解得k=-

17

2

，
而k＞-4且k≠0，
∴不存在實(shí)數(shù)k，使2x₁+2x₂+3x₁x₂=2成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．