Question

已知：如圖①，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，點P由B出發(fā)沿BC方向向點C勻速運動，速度為2cm/s；點 Q由A出發(fā)沿AB方向向點B勻速運動，速度為1cm/s；連接PQ．若設運動的時間為t （s）（0＜t＜4），解答下列問題：
（1）當t為何值時，PQ的垂直平分線經(jīng)過點B？
（2）如圖②，連接CQ．設△PQC的面積為y（cm²），求y與t之間的函數(shù)關系式；
（3）如圖②，是否存在某一時刻t，使線段CQ恰好把四邊形ACPQ的面積分成1：2的兩部分？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)勾股定理，可得AB的長，根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，可得方程，根據(jù)解方程，可得答案；
（2）根據(jù)相似三角形的判定與性質，可得QD的長，根據(jù)三角形的面積公式，可得函數(shù)解析式；
（3）根據(jù)三角形面積的和差，可得四邊形的面積，根據(jù)線段CQ恰好把四邊形ACPQ的面積分成1：2的兩部分，可得方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答：解：（1）由勾股定理得AB=

AC2+BC2

=10，
由題意得PB=2t，QB=10-t，
由PQ的垂直平分線經(jīng)過點B，得
2t=10-t，
t=

10

3

；
（2）作QD⊥BC與D點，AC⊥BC，，
QD∥AC，
△BDQ∽△BCQ，

BQ

AB

=

DQ

AC

，AC=6，AB=10，BQ=10-t，
DQ=

30-3t

5

，CP=8-2t，
y=

1

2

CP•DQ=

1

2

×

30-3t

5

×(8-2t)，
即y=-

3

5

t²-

42

5

t+24；
（3）存在，
S_△BCQ=

1

2

BC•DQ=

1

2

×8×

30-3t

5

=24-

12

5

t，
S_△ABC=

1

2

×AC×BC=24，
S_△ACQ=S_△ABC-S_△CQB=24-（24-

12

5

t）=

12

5

t，
①當S_△ACQ：S_CPQ=1：2時，（

12

5

t）：（-

3

5

t²-

42

5

t+24）=1：2，
t²+22t-40=0
解得t₁=-11+

161

，t₂=-11-

161

（不符合題意舍去），
②當S_△ACQ：S_CPQ=2：1時，（

12

5

t）：（-

3

5

t²-

42

5

t+24）=2：1，
t²+16t-40=0
解得t₁=-8+2

26

，t₂=-8-2

26

（不符合題意，舍去），
綜上所述：t=-11+

161

，t=-8+2

26

時線段CQ恰好把四邊形ACPQ的面積分成1：2的兩部分．

點評：本題考查了相似形綜合題，利用了線段垂直平分線的性質，相似三角形的判定與性質，一元二次方程的解法，構造相似三角形是解題關鍵．