Question

一家圖文廣告公司制作的宣傳畫板頗受商家歡迎，這種畫板的厚度忽略不計，形狀均為正方形，邊長在10～30dm之間．每張畫板的成本價（單位：元）與它的面積（單位：dm²）成正比例，每張畫板的出售價（單位：元）由基礎價和浮動價兩部分組成，其中基礎價與畫板的大小無關，是固定不變的．浮動價與畫板的邊長成正比例．在營銷過程中得到了表格中的數(shù)據(jù)．

畫板的邊長（dm）	10	20
出售價（元/張）	160	220

（1）求一張畫板的出售價與邊長之間滿足的函數(shù)關系式；
（2）已知出售一張邊長為30dm的畫板，獲得的利潤為130元（利潤=出售價-成本價），
①求一張畫板的利潤與邊長之間滿足的函數(shù)關系式；
②當邊長為多少時，出售一張畫板所獲得的利潤最大？最大利潤是多少？

Answer 1

考點：二次函數(shù)的應用,待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式

專題：

分析：1）利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可得出答案；
（2）①首先假設一張薄板的利潤為W元，它的成本價為ax²元，由題意，得：W=y-ax²，進而得出m的值，求出函數(shù)解析式即可；
②利用二次函數(shù)的最值公式求出二次函數(shù)的最值即可．

解答：解：（1）設正方形畫板的邊長為xdm，出售價為每張y元，且y=kx+b（k≠0），
由表格中的數(shù)據(jù)可得，

10k+b=160 20k+b=220

，
解得

k=6 b=100

，
從而一張畫板的出售價y與邊長x之間滿足函數(shù)關系式y(tǒng)=6x+100；

（2）①設每張畫板的成本價為ax²，利潤W=6x+100-ax²，
當x=30時，W=130，180+100-900a=130，得a=

1

6

，
一張畫板的利潤W 與邊長x之間滿足函數(shù)關系式W=-

1

6

x²+6x+100；
②由W=-

1

6

（x-18）²+154，知當x=18時，W有最大值，W_最大=154，
因此當正方形畫板的邊長為18dm時，可獲最大利潤154元．

點評：本題考查了二次函數(shù)的最值求法以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，求二次函數(shù)的最大（�。┲涤腥�種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法，常用的是后兩種方法．