Question

已知拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（－1，0），

（1）求拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）D是拋物線與y軸的交點(diǎn)，C是拋物線上的一點(diǎn)，且以AB為一底的梯形ABCD的面積為9，求此拋物線的解析式；

（3）E是第二象限內(nèi)到x軸，y軸的距離的比為5：2的點(diǎn)，如果點(diǎn)E在（2）中的拋物線上，且它與點(diǎn)A在此拋物線對(duì)稱軸的同側(cè)，問：在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△APE的周長(zhǎng)最��？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由。

 

Answer 1

（1）（-3，0）；（2）y=x2+4x+3或y=3x2+12x+9；（3）（-2，）

【解析】

試題分析：（1）本題需先根據(jù)y=ax2+ax+t的對(duì)稱軸，又與x軸相交即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)．

（2）本題需先根據(jù)已知條件得出C的縱坐標(biāo)，再根據(jù)形ABCD的面積為9，得出C點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出a的值，即可求出解析式．

（3）本題需先設(shè)出E點(diǎn)的坐標(biāo)，再把它代入拋物線的解析式中求出m的值，然后求出點(diǎn)E關(guān)于直線x=-2對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)E′，最后求出AE′的解析式即可求出答案．

試題解析：（1）∵y=ax2+ax+t的對(duì)稱軸為x=-2

∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（-3，0）

（2）∵D為拋物線與y軸相交

∴D的縱坐標(biāo)為t

∵CD∥AB

∴C的縱坐標(biāo)也為t

∵梯形ABCD的高為t

∴S梯形ABCD=9

∴

∴CD=

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，t）

∴（）2++t=t

整理得：（2t-18）（6t-18）=0

∴t1=3，t2=9

∴a1=4，a2=12

∴拋物線的解析式為：y=x2+4x+3或y=3x2+12x+9

（3）當(dāng)點(diǎn)E在拋物線y=x2+4x+3時(shí)

設(shè)E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2m，則E的縱坐標(biāo)為5m

把（-2m，5m）代入拋物線得：5m=（-2m）2+4×（-2m）+3

解得；m1=3，m2=

∴E的坐標(biāo)為（-6，15）（舍去）或（-，）

∴點(diǎn)E關(guān)于x=-2對(duì)稱的點(diǎn)E′的坐標(biāo)為（-，）

∴直線AE′的解析式為y=-x-

∴P的坐標(biāo)為（-2，）

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．