Question

閱讀下面的材料：
小明遇到一個問題：如圖（1），在?ABCD中，點E是邊BC的中點，點F是線段AE上一點，BF的延長線交射線CD于點G．如果

AF

EF

=3，求

CD

CG

的值．
他的做法是：過點E作EH∥AB交BG于點H，則可以得到△BAF∽△HEF．請你回答：
（1）AB和EH的數(shù)量關(guān)系為

 

，CG和EH的數(shù)量關(guān)系為

 

，

CD

CG

的值為

 

．
（2）如圖（2），在原題的其他條件不變的情況下，如果

AF

EF

=a（a＞0），那么

CD

CG

的值為

 

（用含a的代數(shù)式表示）．
（3）請你參考小明的方法繼續(xù)探究：如圖（3），在四邊形ABCD中，DC∥AB，點E是BC延長線上一點，AE和BD相交于點F．如果

AB

CD

=m，

BC

BE

=n（m＞0，n＞0），那么

AF

EF

的值為

 

（用含m，n的代數(shù)式表示）．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）本問體現(xiàn)“特殊”的情形，

AE

EF

=3是一個確定的數(shù)值．如答圖1，過E點作平行線，構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形和中位線的性質(zhì)，分別將各相關(guān)線段均統(tǒng)一用EH來表示，最后求得比值；
（2）本問體現(xiàn)“一般”的情形，

AE

EF

=a不再是一個確定的數(shù)值，但（1）問中的解題方法依然適用，如答圖2所示．
（3）本問體現(xiàn)“類比”與“轉(zhuǎn)化”的情形，將（1）（2）問中的解題方法推廣轉(zhuǎn)化到梯形中，如答圖3所示．

解答：解：（1）依題意，過點E作EH∥AB交BG于點H，如右圖1所示．
則有△ABF∽△EHF，
∴

AB

EH

=

AF

EF

=3，∴AB=3EH．
∵?ABCD，EH∥AB，∴EH∥CD，
又∵E為BC中點，∴EH為△BCG的中位線，∴CG=2EH．

CD

CG

=

AB

CG

=

3EH

2EH

=

3

2

．
故答案為：AB=3EH；CG=2EH；

3

2

．

（2）如右圖2所示，作EH∥AB交BG于點H，則△EFH∽△AFB．
∴

AB

EH

=

AF

EF

=a，∴AB=aEH．
∵AB=CD，∴CD=aEH．
∵EH∥AB∥CD，∴△BEH∽△BCG．
∴

CG

EH

=

BC

BE

=2，∴CG=2EH．
∴

CD

CG

=

aEH

2EH

=

a

2

．
故答案為：

a

2

．

（3）如右圖3所示，過點E作EH∥AB交BD的延長線于點H，則有EH∥AB∥CD．
∵EH∥CD，∴△BCD∽△BEH，
∴

CD

EH

=

BC

BE

=n，∴CD=nEH．
又

AB

CD

=m，∴AB=mCD=mnEH．
∵EH∥AB，∴△ABF∽△EHF，
∴

AF

EF

=

AB

EH

=

mnEH

EH

=mn，
故答案為：mn．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，由平行四邊形中的一個特殊的例子出發(fā)（第1問），推廣到平行四邊形中的一般情形（第2問），最后再通過類比、轉(zhuǎn)化到梯形中去（第3問）．體現(xiàn)了初中數(shù)學(xué)的類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法，有利于學(xué)生觸類旁通、舉一反三．