Question

如圖，拋物線y=-

5

4

x²+

17

4

x+1與y軸交于A點，過點A的直線與拋物線交于另一點B，過點B作BC⊥x軸，垂足為點C（3，0）
（1）求直線AB的函數(shù)關系式；
（2）動點P在線段OC上從原點出發(fā)以每秒一個單位的速度向C移動，過點P作PN⊥x軸，交直線AB于點M，交拋物線于點N．設點P移動的時間為t秒，MN的長度為s個單位，求s與t的函數(shù)關系式，并寫出t的取值范圍；
（3）設在（2）的條件下（不考慮點P與點O，點C重合的情況），連接CM，BN，當t為何值時，四邊形BCMN為平行四邊形？問對于所求的t值，平行四邊形BCMN是否菱形？請說明理由．

Answer 1

（1）∵當x=0時，y=1，
∴A（0，1），
當x=3時，y=-

5

4

×3²+

17

4

×3+1=2.5，
∴B（3，2.5），
設直線AB的解析式為y=kx+b，
則：

b=1 3k+b=2.5

，
解得：

b=1 k= 1 2

，
∴直線AB的解析式為y=

1

2

x+1；

（2）根據(jù)題意得：s=MN=NP-MP=-

5

4

t²+

17

4

t+1-（

1

2

t+1）=-

5

4

t²+

15

4

t（0≤t≤3）；

（3）若四邊形BCMN為平行四邊形，則有MN=BC，此時，有-

5

4

t²+

15

4

t=

5

2

，
解得t₁=1，t₂=2，
∴當t=1或2時，四邊形BCMN為平行四邊形．
①當t=1時，MP=

3

2

，NP=4，故MN=NP-MP=

5

2

，
又在Rt△MPC中，MC=

MP2+PC2

=

5

2

，故MN=MC，此時四邊形BCMN為菱形，
②當t=2時，MP=2，NP=

9

2

，故MN=NP-MP=

5

2

，
又在Rt△MPC中，MC=

MP2+PC2

=

5

，故MN≠MC，此時四邊形BCMN不是菱形．