Question

在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)C（-1，0），如圖所示：拋物線y=ax²+ax-2經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式；
（3）在拋物線上是否還存在點(diǎn)P（點(diǎn)B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足為D，
∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠BCD=∠CAO，（1分）
又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，
∴△BCD≌△CAO，（2分）
∴BD=OC=1，CD=OA=2，（3分）
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，1）；（4分）

（2）拋物線y=ax²+ax-2經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（-3，1），
則得到1=9a-3a-2，（5分）
解得a=

1

2

，
所以拋物線的解析式為y=

1

2

x²+

1

2

x-2；（7分）

（3）假設(shè)存在點(diǎn)P，使得△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形：
①若以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)；
則延長(zhǎng)BC至點(diǎn)P₁，使得P₁C=BC，得到等腰直角三角形△ACP₁，（8分）
過(guò)點(diǎn)P₁作P₁M⊥x軸，
∵CP₁=BC，∠MCP₁=∠BCD，∠P₁MC=∠BDC=90°，
∴△MP₁C≌△DBC．（10分）
∴CM=CD=2，P₁M=BD=1，可求得點(diǎn)P₁（1，-1）；（11分）
②若以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)；
則過(guò)點(diǎn)A作AP₂⊥CA，且使得AP₂=AC，得到等腰直角三角形△ACP₂，（12分）
過(guò)點(diǎn)P₂作P₂N⊥y軸，同理可證△AP₂N≌△CAO，（13分）
∴NP₂=OA=2，AN=OC=1，可求得點(diǎn)P₂（2，1），（14分）
③以A為直角頂點(diǎn)的等腰Rt△ACP的頂點(diǎn)P有兩種情況．即過(guò)點(diǎn)A作直線L⊥AC，在直線L上截取AP=AC時(shí)，點(diǎn)P可能在y軸右側(cè)，即現(xiàn)在解答情況②的點(diǎn)P₂；
點(diǎn)P也可能在y軸左側(cè)，即還有第③種情況的點(diǎn)P₃．因此，然后過(guò)P₃作P₃G⊥y軸于G，同理：△AGP3≌△CAO，
∴GP₃=OA=2，AG=OC=1，
∴P₃為（-2，3）；
經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)P₁（1，-1）與點(diǎn)P₂（2，1）都在拋物線y=

1

2

x²+

1

2

x-2上，點(diǎn)P₃（-2，3）不在拋物線上．（16分）