Question

如圖，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°∠DBE是以點(diǎn)B為頂點(diǎn)的角，且∠DBE在∠ABC內(nèi)繞點(diǎn)B轉(zhuǎn)動(dòng)，BD、BE分別交AC于點(diǎn)D、E，若∠DBE=45°，請(qǐng)說明無論∠DBE旋轉(zhuǎn)到什么位置，始終滿足：DE²=AD²+EC²．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),勾股定理,勾股定理的逆定理

專題：

分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠C=∠1=45°，再把△BCE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°可得到△BAF，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠2=∠C=45°，∠ABF=∠CBE，∠FBE=90°，AF=CE，BF=BE，由于∠DBE=45°，則∠DBF=45°，則可根據(jù)“SAS”判斷△DBF≌△DBE得到DF=DE，接著證明△AFD為直角三角形，然后利用勾股定理得到DF²=AD²+AF²，再利用等線段代換即可得到DE²=AD²+EC²．

解答：證明：∵BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠C=∠1=45°，
∴把△BCE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°可得到△BAF，
∴∠2=∠C=45°，∠ABF=∠CBE，∠FBE=90°，AF=CE，BF=BE，
∵∠DBE=45°，
∴∠DBF=45°，
∴∠DBF=∠DBE，
在△DBF和△DBE中，

BD=BD ∠DBF=∠DBE BF=BE

，
∴△DBF≌△DBE（SAS），
∴DF=DE，
∵∠1+∠2=90°，
∴△AFD為直角三角形，
∴DF²=AD²+AF²，
∴DE²=AD²+EC²．
即無論∠DBE旋轉(zhuǎn)到什么位置，始終滿足：DE²=AD²+EC²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了勾股定理．