Question

如圖，拋物線經(jīng)過△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)B坐標(biāo)為（2，3），點(diǎn)C在x軸的正半軸上．
（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)E為線段OC上一動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)E為邊在第一象限內(nèi)作正方形OEFG，當(dāng)正方形的頂點(diǎn)F恰好落在線段AC上時(shí)，求線段OE的長；
（3）將（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，記平移中的正方形OEFG為正方形DEFG，當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)C重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)平移的距離為t，正方形DEFG的邊EF與AC交于點(diǎn)M，DG所在的直線與AC交于點(diǎn)N，連接DM，是否存在這樣的t，使△DMN是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（4）在上述平移過程中，當(dāng)正方形DEFG與△ABC的重疊部分為五邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫出重疊部分的面積S與平移距離t的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍；并求出當(dāng)t為何值時(shí)，S有最大值，最大值是多少？

Answer 1

（1）。C（6，0）。
（2）OE=2。
（3）存在滿足條件的t．理由見解析
（4）當(dāng)t=時(shí)，S取得最大值，最大值為1。

試題分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，令y=0解方程，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)。
（2）如答圖1，由△CEF∽△COA，根據(jù)比例式列方程求出OE的長度。
（3）如答圖2，若△DMN是等腰三角形，可能有三種情形，需要分類討論。
（4）當(dāng)正方形DEFG與△ABC的重疊部分為五邊形時(shí)，如答圖3，由S=S_{正方形DEFG}﹣S_梯形MEDN﹣S_△FJK求出S關(guān)于t的表達(dá)式，然后由二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最值。
解：（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（0，3），B（2，3），
∴，解得：。
∴拋物線的解析式為：。
令y=0，即，解得x=6或x=﹣4。
∵點(diǎn)C位于x軸正半軸上，∴C（6，0）。
（2）當(dāng)正方形的頂點(diǎn)F恰好落在線段AC上時(shí)，如答圖所示：

設(shè)OE=x，則EF=x，CE=OC﹣OE=6﹣x．
∵EF∥OA，∴△CEF∽△COA。
∴，即。
解得x=2．∴OE=2。
（3）存在滿足條件的t．理由如下：
如答圖，

易證△CEM∽△COA，
∴，即，得。
過點(diǎn)M作MH⊥DN于點(diǎn)H，
則DH=ME=，MH=DE=2。
易證△MNH∽△COA，∴，即，得NH=1。
∴DN=DH+HN=。
在Rt△MNH中，MH=2，NH=1，由勾股定理得：MN=。
當(dāng)△DMN是等腰三角形時(shí)：
①若DN=MN，則=，解得t=。
②若DM=MN，則DM²=MN²，即2²+（）²=（）²，解得t=2或t=6（不合題意，舍去）。
③若DM=DN，則DM²=DN²，即2²+（）²=（）²，解得t=1。
綜上所述，當(dāng)t=1、2或時(shí)，△DMN是等腰三角形。
（4）當(dāng)正方形DEFG與△ABC的重疊部分為五邊形時(shí)，如答圖，

設(shè)EF、DG分別與AC交于點(diǎn)M、N，
由（3）可知：ME=，DN=．
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
將點(diǎn)B（2，3）、C（6，0）代入得：
，解得。
∴直線BC的解析式為。
設(shè)直線BC與EF交于點(diǎn)K，
∵x_K=t+2，∴。
∴。
設(shè)直線BC與GF交于點(diǎn)J，
∵yJ=2，∴2= ，得。
∴FJ=x_F﹣x_J=t+2﹣=t﹣。
∴S=S_{正方形DEFG}﹣S_梯形MEDN﹣S_△FJK=DE²﹣（ME+DN）•DE﹣FK•FJ
=2²﹣ [（2﹣t）+（3﹣t）]×2﹣（t﹣1）（t﹣）．
過點(diǎn)G作GH⊥y軸于點(diǎn)H，交AC于點(diǎn)I，則HI=2，HJ=，
∴t的取值范圍是：2＜t＜。
∴S與t的函數(shù)關(guān)系式為：S（2＜t＜）。
S，
∵＜0，且2＜＜，∴當(dāng)t=時(shí)，S取得最大值，最大值為1。