【題目】如圖,二次函數(shù)y2mx2+5mx12mm為參數(shù),且m0)的圖象與x軸交于點A、B,與y軸交于點C,點A的坐標(biāo)為(﹣4,0).

1)求直線AC的解析式(用含m的式子表示).

2)若m=﹣,連接BC,判斷∠CAB和∠CBA的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

3)在(2)的條件下,設(shè)點MAC上方的拋物線上一動點(與點A,C不重合),以M為圓心的圓與直線AC相切,求⊙M面積的取值范圍.

【答案】1y=﹣3mx12m;(2)∠CBA2CAB;(30SM

【解析】

1)由拋物線的解析式求出C點坐標(biāo),再用待定系數(shù)法求直線AC的解析式;

2)作點B關(guān)于y軸的對稱點B',連接CB'.證明AB'CB'便可得結(jié)論;

3)過MMEy軸,交AC于點E,設(shè)M點的橫坐標(biāo)為m,用m表示MD,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得MD的最大值,最后根據(jù)圓的面積公式便可求得結(jié)果.

1)令x0,得y2mx2+5mx12m=﹣12m,

設(shè)直線AC的解析式為ykx+bk≠0),則,

∴直線AC的解析式為:y=﹣3mx12m;

2)∠CBA2CAB

理由如下:

如圖1,作點B關(guān)于y軸的對稱點B',連接CB'

CBCB',

∴∠CBA=∠CB'O

m=﹣時,拋物線的解析式為:,

C0,2),

OC2,

當(dāng)y0,得0,

解得x=﹣4,

A(﹣4,0),B,0),

B'(﹣,0),

AB'CB'

AB'CB',

∴∠CAB=∠ACB',

∵∠CB'O=∠CAB+ACB'2CAB,

∴∠CBA2CAB;

3)如圖2,以MD為半徑做圓,過MMEy軸,交AC于點E,

則∠MEC=∠ACO,

A(﹣40),以(02

∴直線AC的解析式為y,

設(shè)Mm,)(﹣4m0),則Em,),

RtAOC中,OC2,OA4,由勾股定理可得AC2,

sinMED,

,

由二次函數(shù)的性質(zhì)知,當(dāng)m=﹣2時,DE有最大值為:,

,

∴⊙M面積的最大值為:π×2,

∴⊙M面積的取值范圍為:0SM

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