【題目】如圖,已知拋物線經(jīng)過點A(1,0)B(3,0)、C(0,3)三點。

(1)求拋物線的解析式。

(2)M是線段BC上的點(不與BC重合),過MMNy軸交拋物線于N若點M的橫坐標(biāo)為m,請用m的代數(shù)式表示MN的長。

(3)在(2)的條件下,連接NB、NC,是否存在m,使BNC的面積最大?若存在,求m的值;若不存在,說明理由。

【答案】(1)y=x2+2x+3(2) m2+3m0m3).(3) 當(dāng)m=時,BNC的面積最大,最大值為

【解析】試題分析:1)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式;
2)先求直線BC的解析式,表示出M、N兩點的坐標(biāo),利用縱坐標(biāo)的差計算MN的長即可;
3)根據(jù)面積公式得:SBNC=SCMN+SMNB=|MN||OB|,OB的長是定值為3,所以MN的最大值即為面積的最大值,求MN所表示的二次函數(shù)的最值即可.

解:(1) ∵拋物線經(jīng)過點A(1,0),B(3,0),C(0,3)三點,

∴設(shè)拋物線的解析式為:y=a(x+1)(x3)

C(0,3)代入得:3=a(0+1)(03),

a=1

∴拋物線的解析式:y=-x22x3

(2) 設(shè)直線BC的解析式為:y=kx+b,

B(3,0),C(0,3)代入得: ,

解得:

,

∴直線BC的解析式為y=-x3,

M(m,-m3),

又∵MNx軸,

N(m,-m22m3),

MN(m22m3)(m3)=-m23m(0m3)

(3)SBNCSCMNSMNB|MN|·|OB|,

∴當(dāng)|MN|最大時,BNC的面積最大,

MN=-m23m=-(m)2,

所以當(dāng)m時,BNC的面積最大為××3

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