Question

【題目】已知：二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D（﹣2，﹣3）在拋物線上．

（1）求拋物線的解析式；

（2）拋物線的對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)P，求出PA+PD的最小值；

（3）點(diǎn)G拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)E，使B、D、E、G這樣的四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的E點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x﹣3；（2）；（3）E1（﹣1，0），E2（3，0），E3，E4．

【解析】試題分析：（1）將A、D的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數(shù)的值．

（2）根據(jù)拋物線的解析式即可得到其對(duì)稱軸及B點(diǎn)的坐標(biāo)，由于A、B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，連接BD，BD與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的P點(diǎn)，那么PA+PD的最小值即為BD的長，根據(jù)B、D的坐標(biāo)，即可用勾股定理（或坐標(biāo)系兩點(diǎn)間的距離公式）求出BD的長，也就求得了PA+PD的最小值．

（3）此題可分作兩種情況考慮：

①BE∥DG；根據(jù)拋物線的解析式可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，可得C、D關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，即C、D的縱坐標(biāo)相同，所以CD∥x軸，那么C點(diǎn)就是符合條件的G點(diǎn)，易求得CD的長，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)知BE=CD，由此可得到BE的長，將B點(diǎn)坐標(biāo)向左或向右平移CD個(gè)單位即可得到兩個(gè)符合條件的E點(diǎn)坐標(biāo)；

②BD∥EG；根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)知，此時(shí)G、D的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，由此可求得G點(diǎn)的縱坐標(biāo)，將其代入拋物線的解析式中即可求得G點(diǎn)的坐標(biāo)；那么將G點(diǎn)的橫坐標(biāo)減去3（B、D橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值），即可得到兩個(gè)符合條件的E點(diǎn)坐標(biāo)；

綜上所述，得到符合條件的E點(diǎn)坐標(biāo)．

試題解析：解：（1）將A（﹣3，0），D（﹣2，﹣3）代入y=x2+bx+c，得：

，解得： ；

∴拋物線的解析式為：y=x2+2x﹣3．

（2）由：y=x2+2x﹣3得：

對(duì)稱軸為： ，

令y=0，則：x2+2x﹣3=0，

∴x1=﹣3，x2=1，

∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（1，0），

而點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于x=﹣1對(duì)稱，

∴連接BD與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的P點(diǎn)．

過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，則：DF=3，BF=1﹣（﹣2）=3，

在Rt△BDF中，BD=，

∵PA=PB，

∴PA+PD=PB+PD=BD=，

即PA+PD的最小值為．

（3）存在符合條件的點(diǎn)E，

①在y=x2+2x﹣3中，令x=0，則有：y=﹣3，故點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，﹣3），

∴CD∥x軸，

∴在x軸上截取BE1=BE2=CD=2，得BCDE1和BDCE2，

此時(shí)：點(diǎn)C與點(diǎn)G重合，E1（﹣1，0），E2（3，0）．

②∵BF=DF=3，∠DFB=90°，

∴∠FBD=45°，

當(dāng)G3E3∥BD且相等時(shí)，有G3E3DB，作G3N⊥x軸于點(diǎn)N，

∵∠G3E3B=∠FBD=45°，∠G3NE3=90°，G3E3=BD=，

∴G3N=E3N=3；

將y=3代入y=x2+2x﹣3

得： ，

∴E3的坐標(biāo)為： ，

即，

同理可得：E4，

綜上所述：存在這樣的點(diǎn)E，所有滿足條件的E點(diǎn)坐標(biāo)為：

E1（﹣1，0），E2（3，0），

E3，E4．