Question

如圖，直線y=-

3

x+b與y軸交于點A，與雙曲線y=

k

x

在第一象限交于B、C兩點，且AB•AC=2，則K=______．

Answer 1

對直線方程y=-

3

x+b令y=0，得到x=

3 b

3

，即直線與x軸的交點D的坐標為（

3 b

3

，0），
令x=0，得到y(tǒng)=b，即A點坐標為（0，b），
∴OA=b，OD=

3 b

3

，
∵在Rt△AOD中，tan∠ADO=

OA

OD

=

b

3 b 3

=

3

，
∴∠ADO=60°，即直線y=-

3

x+b與x軸的夾角為60°，
∵直線y=-

3

x+b與雙曲線y=

k

x

在第一象限交于點B、C兩點，
∴-

3

x+b=

k

x

，即-

3

x²+bx-k=0，
由韋達定理得：x₁x₂=

c

a

=

3

3

k，即EB•FC=

3

3

k，
∵

EB

AB

=cos60°=

1

2

，
∴AB=2EB，
同理可得：AC=2FC，
∴AB•AC=2EB×2FC=4EB•FC=4×

3

3

k=2，
解得k=

3

2

．
故答案為：

3

2

．