Question

如圖，△ABC中，∠ABC=45°，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AC于點(diǎn)M，BM交CD于點(diǎn)E，且點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，連接MD，過(guò)點(diǎn)D作ND⊥MD于點(diǎn)D，DN交BM于點(diǎn)N．

（1）若BC=，求△BDE的周長(zhǎng)；

（2）求證：NE－ME=CM．

 

Answer 1

（1）；（2）完成證明見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：（1）充分利用直角三角形的性質(zhì)和勾股定理即可得解，在Rt△BDE中，要求周長(zhǎng)，求出是BD長(zhǎng)是關(guān)鍵，而B(niǎo)D長(zhǎng)放在Rt△BCD中即可得解.

（2）想證明NE－ME=CM這樣的關(guān)系，關(guān)鍵將其放入全等三角形中，用等量代換的關(guān)系即可得證，充分利用點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)的條件作出輔助線，過(guò)D作D作DF⊥BM于點(diǎn)F，或過(guò)點(diǎn)D作DF∥CM交BM于點(diǎn)F，或在MB上截取EF，使EF=EM（如第24題解答圖1），另外也可過(guò)點(diǎn)C作CP∥DN交BM延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，或過(guò)點(diǎn)C作CP∥DN交BM延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，或延長(zhǎng)EM至點(diǎn)P，使EP=EN（如第24題解答圖2），利用兩次全等三角形，即可得證。

試題解析：

（1）∵∠ABC=45°，CD⊥AB

∴在Rt△BCD中，∠DBC=∠DCB=45°

∵BC= ∴BD=CD=2

∵點(diǎn)E為CD中點(diǎn)

∴DE=CE=CD=1

∴

∴

∴△BDE的周長(zhǎng)為

（2）（方法一）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BM于點(diǎn)F

∵BM⊥AC

∴∠DFE=∠CME=90°

在△DEF和△CEM中

∴△DEF≌△CEM（AAS）

∴DF=CM FE=ME

∵ND⊥MD，CD⊥AB

∴∠BDN+∠NDE=∠CDM+∠NDE=90°

∴∠BDN=∠CDM

∵CD⊥AB，BM⊥AC

∴∠BDE=∠CDA=90°

∠DBE+∠DEB=∠ACD+∠CEM=90°

∵∠DEB=∠CEM ∴∠DBE=∠ACD

在△BDN和△CDM中

∴△BDN≌△CDM（ASA）

∴DN=DM

∴在Rt△DMN中，∠DNM=∠DMN=45°

∴在Rt△DMN中，∠DNM=∠NDF=45°

∴DF=NF

又∵DF=CM，F(xiàn)E=ME

∴NE=NF+FE=CM+ME

∴NE－ME=CM.

（2）問(wèn)其他方法：（解法略）

方法二：過(guò)點(diǎn)D作DF∥CM交BM于點(diǎn)F

方法三：在MB上截取EF，使EF=EM

方法四：過(guò)點(diǎn)C作CP∥DN交BM延長(zhǎng)線于點(diǎn)P

方法五：延長(zhǎng)EM至點(diǎn)P，使EP=EN

考點(diǎn)：1．直角三角形判定及性質(zhì)定理；2 ．全等三角形判定及性質(zhì)定理．