Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)是（﹣1，0），點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，4），拋物線過(guò)A、B、C三點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式．

（2）點(diǎn)N事拋物線上的一點(diǎn)（點(diǎn)N在直線AC上方），過(guò)點(diǎn)N作NG⊥x軸，垂足為G，交AC于點(diǎn)H，當(dāng)線段ON與CH互相平分時(shí)，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)．

（3）設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線L，頂點(diǎn)為K，點(diǎn)C關(guān)于L的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)J，x軸上是否存在一點(diǎn)Q，y軸上是否一點(diǎn)R使四邊形KJQR的周長(zhǎng)最小？若存在，請(qǐng)求出周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

　

Answer 1

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．

【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可得NH與OC的關(guān)系，根據(jù)解方程，可得m的值，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得答案；

（3）根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線短兩端點(diǎn)的距離相等，可得DR與DK的長(zhǎng)，QJ與QE的關(guān)系，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可得KR+RQ+QJ=ED，根據(jù)勾股定理，可得DE的長(zhǎng)，KJ的長(zhǎng)．

【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，將A、B、C點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得

，

解得，

拋物線的解析式為y=﹣x²+3x+4；

（2）如圖1，

設(shè)AC的解析式為y=kx+b，將A、C點(diǎn)坐標(biāo)代入，得

，解得，

AC的解析式為y=﹣x+4，

設(shè)N（m，﹣m²+3m+4），H（m，﹣m+4）．

NH=﹣m²+4m．

由線段ON與CH互相平分，得

NH=OC=4，

即﹣m²+4m=4，

解得m=2，﹣m²+3m+4=6，即N（2，6），

當(dāng)線段ON與CH互相平分時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，6）；

（3）如圖2，

作K點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D，作J點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，連接DE交y軸于R交x軸于Q點(diǎn)，

y=﹣x²+3x+4=﹣（x﹣）²+，頂點(diǎn)K（，）．

由點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸L=的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)J，C（0，4），得

J點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4）．

由K點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D，K（，），得

D點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，）．

由J點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，J（3，4），得

E點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，﹣4）．

由勾股定理，得KJ==；

DE==，

KJQR的周長(zhǎng)最小=KR+RQ+QJ+KJ=DE+KJ=+．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用平行四邊形的判定與性質(zhì)得出關(guān)于m的方程是解題關(guān)鍵，利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出DR與DK的長(zhǎng)，QJ與QE的關(guān)系是解題關(guān)鍵．