Question

【題目】如圖，二次函數(shù) y＝ax2﹣2ax+c(a＞0)的圖象與 x 軸的負半軸和正半軸分別交于 A、B 兩點，與 y 軸交于點 C，它的頂點為 P，直線 CP 與過點B 且垂直于 x 軸的直線交于點 D，且 CP：PD＝1：2，tan∠PDB＝．

(1)則 A、B 兩點的坐標分別為 A( ， )； B( ， )；

(2)求這個二次函數(shù)的解析式；

(3)在拋物線的對稱軸上找一點M 使|MC﹣MB|的值最大，則點M 的坐標為 ．

Answer 1

【答案】（1）﹣1，0；3，0；（2）y=x2﹣x﹣；（3）（1，﹣）

【解析】

（1）先求得拋物線的對稱軸為x=1，然后利用平行線分線段成比例定理求得OE：EB的值，從而得到點B的坐標，利用拋物線的對稱性可求得點A的坐標；

（2）過點C作CF⊥PE，垂足為F．先求得點C和點P的坐標（用含字母的式子表示），然后可得到PF=a，然后利用銳角三角函數(shù)的定義可求得a的值，然后將點A和點B的坐標代入拋物線的解析式可求得c的值；

（3）根據(jù)三角形的任意兩邊之差小于第三邊判斷出點A、C、M在同一直線上時|MC-MB|最大，設直線AC的解析式為y=kx+b，利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式，再根據(jù)點M在對稱軸上代入計算即可得解．

（1）如圖所示：

∵由題意可知：拋物線的對稱軸為x=1，

∴OE=1．

∵OC∥PE∥BD，CP：PD=1：2，

∴=．

∴BE=2．

∴OB=3．

∴B（3，0）．

∵點A與點B關于PE對稱，

∴點A的坐標為（﹣1，0）．

故答案是：﹣1，0；3，0；

（2）過點C作CF⊥PE，垂足為F．

將x=0代入得：y=c，

∴點C的坐標為（0，c）．

將x=1代入得y=﹣a+c．

∴點P的坐標為（1，﹣a+c）．

∴PF=a．

∵PE∥BD，tan∠PDB=，

∴tan∠CPF=tan∠PDB=．

∴．

解得a=．

將a=代入拋物線的解析式得：y=x2﹣x+c．

將點A的坐標代入得： ++c=0，解得：c=﹣．

∴拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣．

（3）由三角形的三邊關系，|MC﹣MB|＜AC，

∴當點A、C、M在同一直線上時|MC﹣MB|最大，

設直線AC的解析式為y=kx+b，

則，

解得，

∴y=﹣x﹣，

∵拋物線對稱軸為直線x=1，

∴當x=1時，y=﹣×1﹣=﹣，

∴點M的坐標為（1，﹣）．

故答案是：（1，﹣ ）．