Question

【題目】下面是小欣設計的“利用等腰三角形做菱形”的尺規(guī)作圖過程．

己知：等腰

求作：點，使得四邊形為菱形．

做法：①作的角平分線，交線段于點；

②以點為圓心，長為半徑圓弧，交的延長線于點；

③連接，所以四邊形為菱形，點即為所求．

根據(jù)小新設計的尺規(guī)作圖過程．

（1）使用直尺和圓規(guī)補全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明．

證明：平分，

（______________________________________）（填推理的依據(jù)）

∴四邊形為平行四邊形（______________________________________）（填推理的依據(jù)）

，

∴四邊形為菱形（______________________________________）（填推理的依據(jù)）

（3）請你設計一種不同于小欣的，利用等腰（其中）作菱形的方法．

要求：寫出簡要思路，并尺規(guī)作圖．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）等腰三角形三線合一，對角線相互平分的四邊形是平行四邊形，對角線相互垂直的平行四邊形是菱形；（3）見解析

【解析】

(1)根據(jù)要求畫出圖形即可；
(2)根據(jù)對角線垂直平分的四邊形是菱形即可判定；

(3)根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可作出圖形．

(1)如圖所示，點C是所求作的點，使得四邊形ABCD為菱形；

(2)∵AB=AD，AO平分∠BAD，

∴BO=DO，AC⊥BD(等腰三角形三線合一)

∵BO=DO，AO=CO，

∴四邊形為平行四邊形(對角線相互平分的四邊形是平行四邊形)

∵AC⊥BD，

∴四邊形為菱形(對角線相互垂直的平行四邊形是菱形)；

(3)作法：①以B為圓心，BA長為半徑作弧；
②以D為圓心，DA長為半徑作弧，兩弧交于點C；
③連接BC、DC．

如圖所示，四邊形ABCD為所求作的菱形．