Question

【題目】在△ABC中,∠C=90°,以AB上一點(diǎn)O為圓心,OA為半徑的圓與BC相切于點(diǎn)D,分別交AB,AC于點(diǎn)E,F.

（1）如圖①,連接AD,若∠CAD=25°,求∠B的大小;

（2）如圖②,若點(diǎn)F為弧AD的中點(diǎn),⊙O的半徑為2,求AB的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】(1)∠B=40°；(2)AB= 6.

【解析】

（1）連接OD，由在△ABC中, ∠C=90°，BC是切線,易得AC∥OD,即可求得∠CAD=∠ADO,繼而求得答案;

（2）首先連接OF,OD,由AC∥OD得∠OFA=∠FOD,由點(diǎn)F為弧AD的中點(diǎn),易得△AOF是等邊三角形,繼而求得答案.

解:(1)如解圖①,連接OD,

∵BC切⊙O于點(diǎn)D,

∴∠ODB=90°,

∵∠C=90°,

∴AC∥OD,

∴∠CAD=∠ADO,

∵OA=OD,

∴∠DAO=∠ADO=∠CAD=25°,

∴∠DOB=∠CAO=∠CAD＋∠DAO=50°,

∵∠ODB=90°,

∴∠B=90°－∠DOB=90°－50°=40°;

(2)如解圖②,連接OF,OD,

∵AC∥OD,

∴∠OFA=∠FOD,

∵點(diǎn)F為弧AD的中點(diǎn),

∴∠AOF=∠FOD,

∴∠OFA=∠AOF,

∴AF=OA,

∵OA=OF,

∴△AOF為等邊三角形,

∴∠FAO=60°,則∠DOB=60°,

∴∠B=30°,

∵在Rt△ODB中,OD=2,

∴OB=4,

∴AB=AO＋OB=2＋4=6.