Question

（1）如圖1，點P是正方形ABCD內的一點，把△ABP繞點B順時針方向旋轉，使點A與點C重合，點P的對應點是Q．若PA=3，PB=2

2

，PC=5，求∠BQC的度數．
（2）點P是等邊三角形ABC內的一點，若PA=12，PB=5，PC=13，求∠BPA的度數．

Answer 1

考點：旋轉的性質,等邊三角形的性質,勾股定理的逆定理,正方形的性質

專題：

分析：（1）根據題意得出△ABP繞點B順時針方向旋轉了90°，才使點A與C重合，進而得出∠PBQ=90°，再利用勾股定理得出∠PQC的度數，進而求出∠BQC的度數；
（2）由題意可得出：△ABP繞點B順時針方向旋轉60°，才使點A與C重合，進而得出∠PP'C=90°，即可得出∠BPA的度數．

解答：解：（1）連接PQ．
由旋轉可知：BQ=BP=2

2

，QC=PA=3．

又∵ABCD是正方形，
∴△ABP繞點B順時針方向旋轉了90°，才使點A與C重合，
即∠PBQ=90°，
∴∠PQB=45°，PQ=4．
則在△PQC中，PQ=4，QC=3，PC=5，
∴PC²=PQ²+QC²．
即∠PQC=90°．
故∠BQC=90°+45°=135°．

（2）將此時點P的對應點是點P′．

由旋轉知，△APB≌△CP′B，即∠BPA=∠BP′C，P′B=PB=5，P′C=PA=12．
又∵△ABC是正三角形，
∴△ABP繞點B順時針方向旋轉60°，才使點A與C重合，
得∠PBP′=60°，
又∵P′B=PB=5，
∴△PBP′也是正三角形，即∠PP′B=60°，PP′=5．
因此，在△PP′C中，PC=13，PP′=5，P′C=12，
∴PC²=PP′²+P′C²．
即∠PP′C=90°．
故∠BPA=∠BP′C=60°+90°=150°．

點評：此題主要考查了旋轉的性質以及勾股定理逆定理和正方形的性質等知識，熟練利用勾股定理逆定理得出是解題關鍵．