Question

【題目】如圖, AB=CB, BD=BE, ∠ABC=∠DBE=α.

(1)當α=60°, 如圖則，∠DPE的度數(shù)______________

(2)若△BDE繞點B旋轉一定角度，如圖所示，求∠DPE（用α表示）

(3)當α=90°，其他條件不變，F為AD的中點，求證 ：EC ⊥ BF

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）α；（3）證明見解析．

【解析】

（1）由SAS證明△ABE≌△CBD，得到∠AEB=∠CDB，再由對頂角相等及三角形內角和公式可得∠EPD=∠EBD即可；

（2）與（1）同理可求∠DPE=∠DBE，即可得出結論；

（3）延長BF到K，使FK=BF，連接KD，延長EC交BK于M．由SAS證明△AFB≌△DFK，得到AB=KD，∠ABF=∠DKF，進而得到BC=KD，KD∥AB，再證明∠BDK=∠4，得到△EBC≌△BDK，由全等三角形對應角相等得到∠1=∠2，即可得出結論．

（1）如圖1，設BE和CD相交于M．

∵∠ABC=∠DBE，∴∠ABE=∠CBD．

在△ABE和△CBD中，∵，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴∠AEB=∠CDB．

在△PME和△BMD中，∵∠PME=∠BMD，∠AEB=∠CDB，∴∠EPD=180°－∠AEB－∠PME=180°－∠CDB－∠BMD=∠MBD=60°；

（2）如圖2，同理可求∠DPE=∠DBE=α；

（3）如圖3，延長BF到K，使FK=BF，連接KD，延長EC交BK于M．

∵AF=DF，∠AFB=∠DFK，BF=KF，∴△AFB≌△DFK，∴AB=KD，∠ABF=∠DKF，∴BC=KD，KD∥AB，∴∠BDK+∠ABD=180°，∴∠BDK=180°－∠ABD=180°－（∠2+∠3+∠4+∠5）=180°－[（90°－∠4）+90°]=∠4．

在△EBC和△BDK中，∵EB=BD，∠4=∠BDK，BC=DK，∴△EBC≌△BDK，∴∠1=∠2．

∵∠2+∠EBK=90°，∴∠1+∠EBK=90°，∴∠EMB=90°，∴EC⊥BF．