Question

如圖，△ABC中，∠CAB=45°，點D在△ABC內(nèi)部，∠ADC=135°，點E在△ABC外部，EA=EB，DE平分∠ADB．
（1）如圖1，求證：∠DBA=∠ACD；
（2）如圖2，若CB⊥AB，猜想線段CD與AC之間的數(shù)量關(guān)系并證明．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：計算題

分析：（1）點E作EF⊥AD，EG⊥BD，由DE為角平分線，利用角平分線定理得到EF=EG，再由AE=BE，利用HL得到直角三角形AEF與直角三角形BEG全等，利用全等三角形對應(yīng)角相等得到∠FAE=∠GBE，根據(jù)AE=BE，利用等邊對等角得到一對角相等，利用等式的性質(zhì)得到∠DAB=∠DBA，根據(jù)∠CAB=45°，∠ADC=135°，利用內(nèi)角和定理及等式性質(zhì)得到∠ACD=∠DAB，等量代換即可得證；
（2）AC=

2

CD，理由為：設(shè)ED交AB于點M，由∠DAB=∠DBA，利用等角對等邊得到AD=BD，利用三線合一得到DE垂直于AB，AM=BM，再由CB垂直于AB，得到MN與BC平行，利用平行得比例，確定出M為AC中點，利用兩對角相等的三角形相似得到三角形ADC與三角形DMC相似，由相似得比例，變形即可得證．

解答：（1）證明：過點E作EF⊥AD，EG⊥BD，F(xiàn)，G為垂足，如圖1所示，
∵∠ADE=∠EDB，
∴EF=EG，
∵AE=EB，∠AFE=∠BGE=90°，
∴Rt△AFE≌Rt△BGE，
∴∠FAE=∠GBE，
∵AE=BE，
∴∠EAB=∠EBA，
∴∠DAB=∠DBA，
∵∠CAB=45°，∠ADC=135°，
∴∠DCA+∠CAD=∠CAD+∠DAB=45°，
∴∠ACD=∠DAB，
∴∠DBA=∠ACD；

（2）解：AC=

2

CD，理由為：
設(shè)ED交AB于點M，如圖2所示，
∵∠DAB=∠DBA，
∴AD=DB，
∵DE平分∠ADB，
∴∠DMA=90°，AM=BM，
延長ED交AC于點N，
∵∠ABC=∠DMA=90°，
∴MN∥BC，
∴

AM

MB

=

AN

NC

，
∵AM=BM，
∴AN=NC，
∵∠CAB=∠BCA=45°，
∴∠AND=∠ACB=45°，
∴∠CND=135°，
∴∠CND=∠CDA，
∵∠NCD=∠DCA，
∴△NDC∽△DAC，
∴

NC

DC

=

DC

AC

，
∴DC²=NC•AC=

1

2

AC²，
則AC=

2

DC．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線定理，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．