Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A的直線交拋物線于另一點(diǎn)C，點(diǎn)E為拋物線的頂點(diǎn)，連接CE，AE，設(shè)AE交y軸于點(diǎn)F，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，且，C、D兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱．

（1）若，求拋物線的解析式；

（2）在（1）的條件下，試探究拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使為以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）設(shè)點(diǎn)P是直線AE上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，若的面積最大值為，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或；（3）

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)E作軸于點(diǎn)G，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用頂點(diǎn)式即可求得拋物線的解析式；

（2）作解圖的輔助線，根據(jù)等腰直角三角形的判定和性質(zhì)求得點(diǎn)的坐標(biāo)，求得直線AC的解析式及與直線AC相互垂直的直線的解析式，聯(lián)立直線與拋物線的解析式即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）先求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，設(shè)拋物線的表達(dá)式為，分別求得點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，設(shè)，求得經(jīng)過(guò)A、P兩點(diǎn)的直線解析式，利用三角形的面積公式及二次的最值即可求得答案．

（1）如圖，過(guò)點(diǎn)E作軸于點(diǎn)G，

∵，

∴F為AE的中點(diǎn)，

又∵，

∴O為AC的中點(diǎn)，，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為，

∵點(diǎn)E為拋物線的頂點(diǎn)，

∴設(shè)拋物線的解析式為，

將點(diǎn)代入得，

解得：，

∴拋物線的解析式為；

（2）存在．

如圖，分別過(guò)點(diǎn)A、C作，分別交拋物線于點(diǎn)、，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)C作軸于點(diǎn)J，連接CD、，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)L．

由（1）得，

∴，

∵頂點(diǎn)，

∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，

∵C、D兩點(diǎn)關(guān)對(duì)稱軸對(duì)稱，

∴，

①時(shí)，

∵，

∴∠CAJ=∠ACJ=45，

∴∠AK=90∠CAJ=45，

∴，

設(shè)的坐標(biāo)為，

∴，，

∴，化簡(jiǎn)得，

解得 ：，，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；

②當(dāng)，

∵，，

∴，

∴，

∵，

∴

∵，

∴，

∴，

設(shè)直線AC的解析式為，直線的解析式為，

將，，代入得：

，解得

∴直線AC的解析式為，

∵，

∴，即直線的解析式，

將代入，得，

∴直線的解析式為，

聯(lián)立直線與拋物線的解析式得，

解得或（與點(diǎn)C重合），

∴，即點(diǎn)與點(diǎn)E重合，

綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或；

（3）由（1）得，拋物線的對(duì)稱軸為直線，

∵，

∴

設(shè)拋物線的表達(dá)式為，

即，

∴，

∴，

∴點(diǎn)P是直線AE上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，

如圖，設(shè)，連接AP，直線AP與y軸交于點(diǎn)Q，

設(shè)經(jīng)過(guò)A、P兩點(diǎn)的直線解析式為，

則，解得，

∴經(jīng)過(guò)A、P兩點(diǎn)的直線解析式為，

∴點(diǎn)，

∴，

∴，

∵的面積最大值為，，

∴，

∴．