Question

如圖，已知點O為Rt△ABC斜邊上一點，以點O為圓心，OA長為半徑的⊙O與BC相切于點E，與AC相交于點D ,連接AE.(1)求證：AE平分∠CAB;

(2)探求圖中∠1與∠C的數(shù)量關系，并求當AE=EC時tanC的值.

 

Answer 1

【答案】

(1)證明見解析(2) 2∠1+∠C=90°，tanC=

【解析】證明：連接OE，

∵⊙O與BC相切于點E，

∴OE⊥BC，

∵AB⊥BC，

∴AB∥OE，

∴∠2=∠AEO，

∵OA=OE，

∴∠1=∠AEO，

∴∠1=∠2，即AE平分∠CAB；

（2）解： ∵∠EOC是△AOE的外角，

∴∠1+∠AEO=∠EOC，

∵∠1=∠AEO，∠OEC=90°，

∴2∠1+∠C=90°，

當AE=CE時，∠1=∠C，

∵2∠1+∠C=90

∴3∠C=90°，∠C=30°

∴tanC=tan30°=

（1）連接OE，則OE⊥BC，由于AB⊥BC，故可得出AB∥OE，進而可得出∠2=∠AEO，由于OA=OE，故∠1=∠AEO，進而可得出∠1=∠2；

（2）由三角形外角的性質可知∠1+∠AEO=∠EOC，，因為∠1=∠AEO，∠OEC=90°，所以2∠1+∠C=90°；當AE=CE時，∠1=∠C，再根據2∠1+∠C=90°即可得出∠C的度數(shù)，由特殊角的三角函數(shù)值得出tanC即可．