Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，E為AB中點，且AD+BC=DC，求證：DE⊥EC，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：延長DA與CE，交于F點，由DF與BC平行，利用兩直線平行得到兩對內(nèi)錯角相等，再由E為AB中點，得到AE=BE，利用AAS得到三角形AEF與三角形BCE全等，利用全等三角形對應邊相等得到EF=CE，AF=BC，利用等式的性質(zhì)及AD+BC=AC，等量代換得到DF=DC，利用三線合一得到DE垂直于CE，DE為角平分線，再利用兩直線平行，內(nèi)錯角相等及等邊對等角得到CE為角平分線．

解答：證明：延長DA和CE交于F，
∵AD∥BC，即AF∥BC，
∴∠F=∠BCE，∠FAE=∠CBE，
∵E是AB中點，
∴AE=BE，
在△AEF和△BEC中，

∠F=∠BCE ∠FAE=∠CBE AE=BE

，
∴△AEF≌△BEC（AAS），
∴EF=CE，AF=BC，
∴DF=AD+AF=AD+BC=DC，
在△DEF和△DEC中，

DE=DE DF=DC EF=CE

，
∴△DEF≌△DEC（SSS），
∴∠FDE=∠CDE，即DE平分∠ADC，∠DEF=∠DEC，
∵∠DEF+∠DEC=180°，
∴∠DEF+∠DEC=90°，即DE⊥EC，
∵DF=DC，
∴∠DCE=∠F，
∵AF∥BC，
∴∠BCE=∠F，
∴∠BCE=∠DCE，即CE平分∠BCD．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關鍵．