Question

在△ABC中，已知∠ABC=45°，BD⊥AC于D，CD=2，AD=3，則BD的長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：

分析：由題意可得出△ABD≌△ABE，△CBD≌△CBF，推出∠DBA=∠EBA，∠DBC=∠FBC，求出四邊形BEGF是正方形，設(shè)BD=x，則BE=EG=GF=x，AG=x-3，CG=x-2，在Rt△，AGC中根據(jù)勾股定理求出（x-3）²+（x-2）²=（2+3）²，求出即可．

解答：解：
分別以BA和BC為對(duì)稱軸在△ABC的外部作△BDA和△BDC的對(duì)稱圖形△BEA和△BFC，如圖，
由題意可得：△ABD≌△ABE，△CBD≌△CBF
∴∠DBA=∠EBA，∠DBC=∠FBC，
又∵∠ABC=45°
∴∠EBF=90°，
又∵AD⊥BC，
∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠BDC=90°，
又∵BE=BD，BF=BD，
∴BE=BF，
∴四邊形BEGF是正方形，
設(shè)BD=x，則BE=EG=GF=x，
∵CD=2，AD=3，
∴BE=2，CF=3
∴AG=x-3，CG=x-2，
在Rt△，AGC中，AG²+CG²=AC²，
（x-3）²+（x-2）²=（2+3）²，
x₁=6，x₂=-1（舍去），
即BD=6，
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，題目比較好，綜合性比較強(qiáng)，難度偏大．