Question

如圖，直線y=

1

2

x+m與拋物線y=-x²+bx+c交于C、D兩點(diǎn)，其中點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，

5

2

），點(diǎn)P是y軸右側(cè)的拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F．
（1）求一次函數(shù)和拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，當(dāng)t為何值時，四邊形OCPE是平行四邊形？請說明理由；
（3）在CD上方是否存在點(diǎn)P，使∠PCF=45°？若存在，求出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）根據(jù)已知條件可知PE=OC=1，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，把y=1代入拋物線的解析式，即可求出t的值；
（3）本問符合條件的點(diǎn)P有2個，如答圖2所示，注意不要漏解．在求點(diǎn)P坐標(biāo)的時候，需要充分挖掘已知條件，構(gòu)造直角三角形或相似三角形，解方程求出點(diǎn)P的坐標(biāo)

解答：解：（1）∵直線y=

1

2

x+m經(jīng)過點(diǎn)D（3，

5

2

），
∴

5

2

=

1

2

×3+m，解得：m=1，
∴直線的解析式：y=

1

2

x+1
在直線解析式y(tǒng)=

1

2

x+1中，令x=0，得y=1，
∴C（0，1）．
∵點(diǎn)C（0，1）、D（3，

5

2

）在拋物線y=-x²+bx+c上，
∴c=1，
-9+3b+c=

5

2

，
解得b=

7

2

，c=1，
∴拋物線的解析式為y=-x²+

7

2

x+1；

（2）∵PF∥OC，且以O(shè)、C、P、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
∴PF=OC=1，
設(shè)P（t，-t²+

7

2

t+1）則F（t，

1

2

t+1）
∴PF=|

1

2

t+1+t²-

7

2

t-1|=1，
解得：t=

3+ 13

2

或t=

3- 5

2

．

（3）存在．
理由：設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則P（m，-m²+

7

2

m+1），F(xiàn)（m，

1

2

m+1）．
如答圖2所示，過點(diǎn)C作CM⊥PE于點(diǎn)M，則CM=m，EM=1，
∴FM=y_F-EM=

1

2

m，
∴tan∠CFM=2．
在Rt△CFM中，由勾股定理得：CF=

5

2

m．
過點(diǎn)P作PN⊥CD于點(diǎn)N，則PN=FN•tan∠PFN=FN•tan∠CFM=2FN．
∵∠PCF=45°，
∴PN=CN，
而PN=2FN，∴FN=CF=

5

2

m，PN=2FN=

5

m，
在Rt△PFN中，由勾股定理得：PF=

FN2+PN2

=

5

2

m．
∵PF=y_P-y_F=（-m²+

7

2

m+1）-（

1

2

m+1）=-m²+3m，
∴-m²+3m=

5

2

m，整理得：m²-

1

2

m=0，
解得m=0（舍去）或m=

1

2

，
∴P（

1

2

，

5

2

）．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題型，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解方程、平行四邊形、勾股定理等重要知識點(diǎn)．第（2）問采用數(shù)形結(jié)合思想求解，直觀形象且易于理解．